Mostrar que as equações dos problemas 1 a 4 não são exatas mas se tornam exatas quando multiplicadas, cada qual, pelo fator integrante mencionado. Resolver as equações exatas assim obtidas.
(3-y d x+\left(2 x-y e^{y}\right) d y=0, \mu(x, y)=y).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(3 - y)\,dx \;+\;(2x - y\,e^y)\,dy \;=\;0
e afirma que o fator integrante é \mu(x,y)=y. Vamos primeiro identificar
M(x,y)=3-y, \qquad N(x,y)=2x - y\,e^y
e verificar se a equação é exata e se ela se torna exata ao multiplicar por \mu=y.

Passo 2

Verificamos a exatidão sem fator:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3-y) = -1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x - y\,e^y) = 2.
Como -1 \neq 2, a equação não é exata.

Passo 3

Agora multiplicamos por \mu=y. Definimos
\widetilde M(x,y)=y\,(3-y)=3y - y^2, \qquad \widetilde N(x,y)=y\,(2x - y\,e^y)=2xy - y^2\,e^y.
Calculamos novamente as derivadas:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = 3 - 2y, \qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} = 2y.
Como 3 - 2y \neq 2y em geral, o produto por y não torna a equação exata.

Resposta

O fator integrante \mu(x,y)=y fornecido não torna a equação exata, pois \partial(\mu M)/\partial y \neq \partial(\mu N)/\partial x. Peça, por favor, uma revisão do enunciado ou do fator integrante.

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