18 Mostre que uma força central arbitrária
é conservativa. Sugestão: use a expressão para o rotacional em coordenadas esféricas.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma força central qualquer, representada por
, é conservativa. Isso está relacionado ao estudo de vetores e campos de força na física, especificamente sobre forças conservativas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional (ou curl) dessa força em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma força ser conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela não depende do caminho seguido, ou seja, só depende dos pontos inicial e final. Matematicamente, isso acontece quando o rotacional da força é zero em todos os pontos do espaço.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional da força
em coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são úteis aqui porque a força depende apenas da distância
e está na direção radial
.
Passo 4
A fórmula para o rotacional em coordenadas esféricas
é:
Passo 5
No nosso caso, a força
só tem componente radial, ou seja,
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula do rotacional.
Passo 6
Substituindo:
Passo 7
Simplificando cada termo:
- Primeiro termo (
): - Segundo termo (
): - Terceiro termo (
):
Passo 8
Então, o rotacional fica:
Resposta
Como o rotacional de
é zero em todas as direções, concluímos que a força central é conservativa.