18 Mostre que uma força central arbitrária F(r)=f(r) r é conservativa. Sugestão: use a expressão para o rotacional em coordenadas esféricas.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma força central qualquer, representada por F(r) = f(r) r, é conservativa. Isso está relacionado ao estudo de vetores e campos de força na física, especificamente sobre forças conservativas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional (ou curl) dessa força em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma força ser conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela não depende do caminho seguido, ou seja, só depende dos pontos inicial e final. Matematicamente, isso acontece quando o rotacional da força é zero em todos os pontos do espaço.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional da força F(r) = f(r) r em coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são úteis aqui porque a força depende apenas da distância r e está na direção radial r.

Passo 4

A fórmula para o rotacional em coordenadas esféricas (r, theta, phi) é:
nabla times F = 1r sin theta [ partialpartial theta (Fphi sin theta) - partial Fthetapartial phi ] r + 1r [ 1sin theta partial Frpartial phi - partialpartial r (r Fphi) ] theta + 1r [ partialpartial r (r Ftheta) - partial Frpartial theta ] phi

Passo 5

No nosso caso, a força F só tem componente radial, ou seja, Fr = f(r) e Ftheta = Fphi = 0. Vamos substituir esses valores na fórmula do rotacional.

Passo 6

Substituindo:
nabla times F = 1r sin theta [ partialpartial theta (0 cdot sin theta) - partial 0partial phi ] r + 1r [ 1sin theta partial f(r)partial phi - partialpartial r (r cdot 0) ] theta + 1r [ partialpartial r (r cdot 0) - partial f(r)partial theta ] phi

Passo 7

Simplificando cada termo:
  • Primeiro termo ( r): partialpartial theta (0) - partial 0partial phi = 0 - 0 = 0
  • Segundo termo ( theta): 1sin theta cdot 0 - partialpartial r (0) = 0 - 0 = 0
  • Terceiro termo ( phi): partialpartial r (0) - partial f(r)partial theta = 0 - 0 = 0

Passo 8

Então, o rotacional fica:
nabla times F = 0 r + 0 theta + 0 phi = 0

Resposta

Como o rotacional de F(r) = f(r) r é zero em todas as direções, concluímos que a força central é conservativa.

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