Demonstre as seguintes regras do produto:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, para um escalar
e um campo vetorial
, vale a “regra do produto” para o rotacional:
Isso é cálculo vetorial, mais precisamente identidade envolvendo o operador rotacional
. Para provar, vamos usar:
- A definição do rotacional em componentes via símbolo de Levi-Civita
. - A regra do produto de derivadas ordinárias.
- A representação do produto vetorial em componentes.
Passo 2
Definindo em notação de índices (índices
valendo
e somando quando se repetem):
-
. -
é . - E o produto vetorial
.
Também lembramos a regra do produto:.
Passo 3
Agora calculamos cada componente de
:
Separamos em duas parcelas:
-
-
.
Passo 4
Na segunda parcela, reconhecemos um produto vetorial
, pois
. Mas atenção:
Então
Logo nossa expressão fica
Só que a identidade pedida quer
. Como
, concluímos