Demonstre as seguintes regras do produto:
) nabla times(f A)=f(nabla times A)-A times(nabla f).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, para um escalar nabla times (f,vec A) = f,(nabla times vec A);-;vec A times (nabla f) e um campo vetorial , vale a “regra do produto” para o rotacional:
Isso é cálculo vetorial, mais precisamente identidade envolvendo o operador rotacional . Para provar, vamos usar:
  1. A definição do rotacional em componentes via símbolo de Levi-Civita .
  2. A regra do produto de derivadas ordinárias.
  3. A representação do produto vetorial em componentes.

Passo 2

Definindo em notação de índices (índices valendo e somando quando se repetem):
  • .
  • é .
  • E o produto vetorial .
    Também lembramos a regra do produto: .

Passo 3

Agora calculamos cada componente de (nablatimes(fvec A))i = varepsilonijk,partialjl(f,Akr) = varepsilonijkl[(partialj f),Ak ;+; f,(partialj Ak)r] :
Separamos em duas parcelas:
  1. .

Passo 4

Na segunda parcela, reconhecemos um produto vetorial (nabla ftimes vec A)i = varepsilonijk,(partialj f),Ak , pois varepsilonijk,(partialj f),Ak = (nabla ftimes vec A)i . Mas atenção:
(nablatimes(fvec A))i = f,(nablatimesvec A)i ;+; (nabla ftimes vec A)i
Então
nablatimes(fvec A) = f,(nablatimesvec A);-;vec Atimes(nabla f)
Logo nossa expressão fica
Só que a identidade pedida quer . Como , concluímos

Resposta

boxednabla times (f,vec A) = f,(nabla times vec A);-;vec A times (nabla f)

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