Calcule o laplaciano das seguintes funções:
v=x^2 i+3 x z^2 y-2 x z k.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular o laplaciano do campo vetorial
vec v = x^2,hat i ;+; 3,x,z^2,hat j ;-; 2,x,z,hat k,
Conteúdo: cálculo vetorial (operador laplaciano) e derivadas parciais.
O que precisamos:
- Definição de derivada parcial e segunda derivada parcial;
- Definição do laplaciano para funções escalares;
- Saber que, em vetor, aplicamos componente a componente.

Passo 2

O laplaciano de uma função escalar f(x,y,z) é
nabla^2 f ;=; partial^2 fpartial x^2 ;+; partial^2 fpartial y^2 ;+; partial^2 fpartial z^2,
Explicando rápido:
- Derivada parcial partial fpartial x significa derivar f em relação a x, tratando y,z como constantes.
- Segunda derivada parcial partial^2 fpartial x^2 é derivar de novo essa derivada em relação a x.

Passo 3

No caso de um campo vetorial vec v = vx,hat i + vy,hat j + vz,hat k, a gente faz:
nabla^2 vec v ;=; (nabla^2 vx),hat i ;+; (nabla^2 vy),hat j ;+; (nabla^2 vz),hat k,
Ou seja, calcula o laplaciano de cada componente escalar.

Passo 4

Vamos achar nabla^2 vx com vx = x^2:
  1. partial^2 vxpartial x^2 = partialpartial xl(2xr) = 2
  2. partial^2 vxpartial y^2 = 0 (não depende de y).
  3. partial^2 vxpartial z^2 = 0 (não depende de z).
    Logo
nabla^2 vx = 2 + 0 + 0 = 2,

Passo 5

Agora nabla^2 vy com vy = 3,x,z^2:
  1. partial^2 vypartial x^2 = partialpartial x(3,z^2) = 0 (pois 3z^2 independe de x após a 1ª derivada).
  2. partial^2 vypartial y^2 = 0 (não depende de y).
  3. partial^2 vypartial z^2 = partialpartial z(6,x,z) = 6,x
    Então
nabla^2 vy = 0 + 0 + 6x = 6x,

Passo 6

E nabla^2 vz com vz = -2,x,z:
  1. partial^2 vzpartial x^2 = partialpartial x(-2z) = 0
  2. partial^2 vzpartial y^2 = 0 (não depende de y).
  3. partial^2 vzpartial z^2 = partialpartial z(-2x) = 0
    Logo
nabla^2 vz = 0 + 0 + 0 = 0,

Resposta

Juntando tudo:
boxednabla^2 vec v = 2,hat i ;+; 6x,hat j ;+; 0,hat k ;=; 2,hat i + 6x,hat j,

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