Calcule o laplaciano das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente calcular o laplaciano do campo vetorial
Conteúdo: cálculo vetorial (operador laplaciano) e derivadas parciais.
O que precisamos:
- Definição de derivada parcial e segunda derivada parcial;
- Definição do laplaciano para funções escalares;
- Saber que, em vetor, aplicamos componente a componente.
Passo 2
O laplaciano de uma função escalar
é
Explicando rápido:
- Derivada parcial
- Segunda derivada parcial
Passo 3
No caso de um campo vetorial
, a gente faz:
Ou seja, calcula o laplaciano de cada componente escalar.
Passo 4
Vamos achar
com
:
-
-
(não depende de ). -
(não depende de ).
Logo
Passo 5
Agora
com
:
-
(pois independe de após a 1ª derivada). -
(não depende de ). -
Então
Passo 6
E
com
:
-
-
(não depende de ). -
Logo
Resposta
Juntando tudo: