18.1. Mostre que lim sup
m
se e somente se existe uma subseqüencia
de
tal que lim
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência entre duas afirmações sobre uma sequência
:
- (A)
. - (B) Existe uma subsequência
de tal que .
Informações relevantes dadas: temos apenas uma sequência
. É necessário provar as duas implicações
e
.
Passo 2
Vamos recordar definições e uma formulação útil de
.
Definição padrão:
Isto significa que para cada
consideramos
(o supremo dos termos a partir de
), e a
é o ínfimo desses
quando
cresce.
Formulação equivalente para o caso
: dizer que
é equivalente a dizer que para todo
e para todo
existe
tal que
. Em palavras: qualquer que seja um limiar
, e qualquer que seja um ponto da sequência a partir do qual olhemos (
), sempre encontramos algum termo mais adiante maior que
. Vou usar essa formulação repetidas vezes.
Explicação curta por que isso é equivalente: se
, então cada
, então para todo
e todo
existe
com
. Reciprocamente, se para todo
e
tal
existe, então cada
não é limitado por cima por nenhum
, logo
e a ínfima dos
é
.
Passo 3
Assuma
. Usarei a formulação anterior.
Construção da subsequência que diverge para
:
- Tome
e . Pela hipótese, existe tal que . - Suponha que já escolhemos índices
com para . Agora aplique a hipótese com e com . Pela hipótese existe tal que . - Assim construímos por indução uma sequência de índices estritamente crescentes
com
Verificação do limite:
Seja . Escolha um inteiro
tal que
. Para todo
vale
. Isso mostra que para qualquer
existe
tal que, sempre que
,
. Logo
Seja
Portanto existe uma subsequência que diverge para
. Isso prova
.
Passo 4
Agora suponha que existe uma subsequência
tal que
. Vamos mostrar
.
Tomemos um
. Como
, existe
tal que para todo
temos
.
Seja
arbitrário. Como os índices
vão a infinito quando
, existe algum
com
. Para esse
tem-se
e
. Portanto existe
(especificamente
) com
. Assim para o
dado vale
Como isso vale para todo
, concluímos que
para cada
. Sendo assim
Isso prova
.
Passo 5
Conclusão: mostramos as duas implicações, então as afirmações são equivalentes. Repetindo de forma curta:
se e somente se existe uma subsequência
com
.