18.1. Mostre que lim sup X m +\infty se e somente se existe uma subseqüencia X^{\prime} de X tal que lim X^{\prime}=+\infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre duas afirmações sobre uma sequência X=(x_n)_{n\ge 1}:
  • (A) \displaystyle \limsup_{n\to\infty} x_n = +\infty.
  • (B) Existe uma subsequência X'=(x_{n_k})_{k\ge 1} de X tal que \displaystyle \lim_{k\to\infty} x_{n_k}=+\infty.
Informações relevantes dadas: temos apenas uma sequência X. É necessário provar as duas implicações (\text{A}\Rightarrow\text{B}) e (\text{B}\Rightarrow\text{A}).

Passo 2

Vamos recordar definições e uma formulação útil de \limsup.
Definição padrão:
\limsup_{n\to\infty} x_n = \inf_{N\ge 1} \sup_{n\ge N} x_n.
Isto significa que para cada N consideramos S_N:=\sup_{n\ge N} x_n (o supremo dos termos a partir de N), e a \limsup é o ínfimo desses S_N quando N cresce.
Formulação equivalente para o caso \limsup_{n\to\infty} x_n = +\infty: dizer que
\limsup_{n\to\infty} x_n = +\infty
é equivalente a dizer que para todo M>0 e para todo N\ge 1 existe n\ge N tal que x_n > M. Em palavras: qualquer que seja um limiar M, e qualquer que seja um ponto da sequência a partir do qual olhemos ( N), sempre encontramos algum termo mais adiante maior que M. Vou usar essa formulação repetidas vezes.
Explicação curta por que isso é equivalente: se \inf_N S_N = +\infty, então cada S_N=+\infty, então para todo N e todo M existe n\ge N com x_n>M. Reciprocamente, se para todo N e M tal n existe, então cada S_N não é limitado por cima por nenhum M, logo S_N=+\infty e a ínfima dos S_N é +\infty.

Passo 3

Assuma \displaystyle \limsup_{n\to\infty} x_n = +\infty. Usarei a formulação anterior.
Construção da subsequência que diverge para +\infty:
  • Tome M=1 e N=1. Pela hipótese, existe n_1\ge 1 tal que x_{n_1}>1.
  • Suponha que já escolhemos índices n_1< n_2<\dots< n_k com x_{n_j}>j para j=1,\dots,k. Agora aplique a hipótese com M=k+1 e com N=n_k+1. Pela hipótese existe n_{k+1}\ge n_k+1 tal que x_{n_{k+1}}>k+1.
  • Assim construímos por indução uma sequência de índices estritamente crescentes (n_k)_{k\ge 1} com
x_{n_k} > k\qquad\text{para todo }k\ge 1.
Verificação do limite:
Seja M>0. Escolha um inteiro K tal que K> M. Para todo k\ge K vale x_{n_k}>k\ge K> M. Isso mostra que para qualquer M existe K tal que, sempre que k\ge K, x_{n_k}>M. Logo
\lim_{k\to\infty} x_{n_k} = +\infty.
Portanto existe uma subsequência que diverge para +\infty. Isso prova (\text{A}\Rightarrow\text{B}).

Passo 4

Agora suponha que existe uma subsequência x_{n_k} tal que \displaystyle \lim_{k\to\infty} x_{n_k}=+\infty. Vamos mostrar \displaystyle \limsup_{n\to\infty} x_n = +\infty.
Tomemos um M>0. Como x_{n_k}\to +\infty, existe K tal que para todo k\ge K temos x_{n_k}>M.
Seja N\ge 1 arbitrário. Como os índices n_k vão a infinito quando k\to\infty, existe algum k\ge K com n_k\ge N. Para esse k tem-se n_k\ge N e x_{n_k}>M. Portanto existe n\ge N (especificamente n=n_k) com x_n>M. Assim para o N dado vale
\sup_{n\ge N} x_n \ge M.
Como isso vale para todo M>0, concluímos que \sup_{n\ge N} x_n = +\infty para cada N. Sendo assim
\limsup_{n\to\infty} x_n = \inf_{N\ge 1} \sup_{n\ge N} x_n = \inf_{N\ge 1} (+\infty) = +\infty.
Isso prova (\text{B}\Rightarrow\text{A}).

Passo 5

Conclusão: mostramos as duas implicações, então as afirmações são equivalentes. Repetindo de forma curta: \displaystyle \limsup_{n\to\infty} x_n = +\infty se e somente se existe uma subsequência (x_{n_k}) com \displaystyle \lim_{k\to\infty} x_{n_k}=+\infty.

Resposta

\displaystyle \limsup_{n\to\infty} x_n = +\infty se e somente se existe uma subsequência (x_{n_k}) tal que \displaystyle \lim_{k\to\infty} x_{n_k}=+\infty.

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