- A. Determine lim sup e lim inf para as seguintes seqüências limitadas em
:
(d) (
).
(d) (
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se determinar
e da sequência , onde percorre os inteiros positivos. - Informação óbvia: a sequência é limitada em
, pois para todo vale . - Pergunta concreta: quais são os valores de
Passo 2
Definições e estratégia que vamos usar (explicado passo a passo).
- Definição prática 1 (útil em provas):
é o menor limite superior das caudas da sequência: Analogamente, - Definição prática 2 (muito usada):
é o maior ponto de acumulação (maior limite de subsequência) e é o menor ponto de acumulação; ou seja, se percorre todos os limites de subsequências de , então - Estratégia para o problema: identificar o conjunto de todos os limites de subsequências de
. Se esse conjunto for todo o intervalo , então e . Para mostrar isso vamos: - Mostrar que os argumentos
(tomados em radianos) visitam valores arbitrariamente próximos de qualquer ponto de — ou seja, a sequência é densa em . - Usar que
é contínua e que sua imagem sobre é todo — então de uma parte densa de é densa em . - Concluir que todo
é limite de alguma subsequência de ; assim o conjunto de limites de subsequências é .
- Mostrar que os argumentos
Passo 3
Por que
é denso em
(explicação didática e curta).
- Observação chave: se
é irracional, então a sequência é densa em . Aqui usamos o caso . Então precisamos ver que - Justificativa simples:
é um número irracional (fato clássico). Se é irracional, então também é irracional e, portanto, é irracional. (Produtos e inversos não nulos de irracionais com racionais não anulam a irracionalidade neste contexto.) - Resultado usado (teorema padrão sobre rotações no círculo): se
é irracional, então a sequência dos números fracionários (os restos fracionários de ) é densa em . Aplicando isso a obtém-se que os números são densos em , o que é equivalente a dizer que é denso em . - Intuição curta (sem prova técnica completa): porque a “passada” de comprimento
radiano não fecha racionalmente com , os pontos espalham-se pela circunferência e chegam arbitrariamente perto de qualquer ângulo.
Passo 4
De densidade do argumento para densidade dos valores de
.
- Como
é denso em , então para qualquer existe uma subsequência tal que - A função
é contínua em . Uma propriedade básica de funções contínuas: imagem de uma sequência convergente converge para a imagem do limite. Assim - Como a imagem de
por é exatamente (por exemplo , e atinge todos os valores intermediários), concluímos: para qualquer existe com , e então existe subsequência com . - Logo todo
é limite de alguma subsequência de . Em outras palavras, o conjunto de todos os limites de subsequências é o intervalo inteiro .
Passo 5
Concluir
e
; evidenciar subsequências que aproximam
e
.
- Pelo passo anterior, o conjunto de pontos de acumulação (limites de subsequências) de
é . - Pelo fato geral citado no Passo 2,
é o supremo dos limites de subsequências, isto é . - Similarmente,
é o ínfimo dos limites de subsequências, isto é . - Para ficar concretinho: existem subsequências
com (por aproximar modulo ) e subsequências com (por aproximar modulo ). Isso exemplifica que tanto quanto são realmente atingíveis como limites de subsequências.