1. A. Determine lim sup e lim inf para as seguintes seqüências limitadas em \boldsymbol{R} :
    (d) ( \operatorname{sen} n ).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se determinar \limsup e \liminf da sequência (\sin n), onde n percorre os inteiros positivos.
  • Informação óbvia: a sequência é limitada em \mathbb{R}, pois para todo n vale -1 \le \sin n \le 1.
  • Pergunta concreta: quais são os valores de \limsup_{n\to\infty}\sin n \qquad\text{e}\qquad \liminf_{n\to\infty}\sin n\\ ?

Passo 2

Definições e estratégia que vamos usar (explicado passo a passo).
  • Definição prática 1 (útil em provas): \limsup_{n\to\infty} a_n é o menor limite superior das caudas da sequência: \limsup_{n\to\infty} a_n=\inf_{N\ge1}\sup_{n\ge N} a_n.Analogamente, \liminf_{n\to\infty} a_n=\sup_{N\ge1}\inf_{n\ge N} a_n.
  • Definição prática 2 (muito usada): \limsup é o maior ponto de acumulação (maior limite de subsequência) e \liminf é o menor ponto de acumulação; ou seja, se L percorre todos os limites de subsequências de (a_n), então \limsup_{n\to\infty} a_n = \sup\{L\} \qquad\text{e}\qquad \liminf_{n\to\infty} a_n = \inf\{L\}.
  • Estratégia para o problema: identificar o conjunto de todos os limites de subsequências de (\sin n). Se esse conjunto for todo o intervalo [-1,1], então \limsup=1 e \liminf=-1. Para mostrar isso vamos:
    1. Mostrar que os argumentos n (tomados em radianos) visitam valores arbitrariamente próximos de qualquer ponto de [0,2\pi) — ou seja, a sequência (n\bmod 2\pi) é densa em [0,2\pi).
    2. Usar que \sin é contínua e que sua imagem sobre [0,2\pi] é todo [-1,1] — então \sin de uma parte densa de [0,2\pi] é densa em [-1,1].
    3. Concluir que todo y\in[-1,1] é limite de alguma subsequência de (\sin n); assim o conjunto de limites de subsequências é [-1,1].

Passo 3

Por que (n\bmod 2\pi) é denso em [0,2\pi) (explicação didática e curta).
  • Observação chave: se \alpha/(2\pi) é irracional, então a sequência (n\alpha \bmod 2\pi)_{n\ge1} é densa em [0,2\pi). Aqui usamos o caso \alpha=1. Então precisamos ver que \frac{1}{2\pi}\\ \text{é irracional}.é
  • Justificativa simples: \pi é um número irracional (fato clássico). Se \pi é irracional, então 2\pi também é irracional e, portanto, 1/(2\pi) é irracional. (Produtos e inversos não nulos de irracionais com racionais não anulam a irracionalidade neste contexto.)
  • Resultado usado (teorema padrão sobre rotações no círculo): se \beta é irracional, então a sequência dos números fracionários \{n\beta\} (os restos fracionários de n\beta) é densa em [0,1]. Aplicando isso a \beta=1/(2\pi) obtém-se que os números \{n/(2\pi)\} são densos em [0,1], o que é equivalente a dizer que (n\bmod 2\pi) é denso em [0,2\pi).
  • Intuição curta (sem prova técnica completa): porque a “passada” de comprimento 1 radiano não fecha racionalmente com 2\pi, os pontos 0,1,2,\dots espalham-se pela circunferência e chegam arbitrariamente perto de qualquer ângulo.

Passo 4

De densidade do argumento para densidade dos valores de \sin n.
  • Como (n\bmod 2\pi) é denso em [0,2\pi), então para qualquer x\in[0,2\pi] existe uma subsequência (n_k) tal que n_k \bmod 2\pi \longrightarrow x.
  • A função \sin é contínua em [0,2\pi]. Uma propriedade básica de funções contínuas: imagem de uma sequência convergente converge para a imagem do limite. Assim \sin n_k = \sin\big(n_k \bmod 2\pi\big) \longrightarrow \sin x.
  • Como a imagem de [0,2\pi] por \sin é exatamente [-1,1] (por exemplo \sin(\tfrac{\pi}{2})=1, \sin(\tfrac{3\pi}{2})=-1 e \sin atinge todos os valores intermediários), concluímos: para qualquer y\in[-1,1] existe x\in[0,2\pi] com \sin x=y, e então existe subsequência (n_k) com \sin n_k\to y.
  • Logo todo y\in[-1,1] é limite de alguma subsequência de (\sin n). Em outras palavras, o conjunto de todos os limites de subsequências é o intervalo inteiro [-1,1].

Passo 5

Concluir \limsup e \liminf; evidenciar subsequências que aproximam 1 e -1.
  • Pelo passo anterior, o conjunto de pontos de acumulação (limites de subsequências) de (\sin n) é [-1,1].
  • Pelo fato geral citado no Passo 2, \limsup_{n\to\infty}\sin n é o supremo dos limites de subsequências, isto é \sup[-1,1]=1.
  • Similarmente, \liminf_{n\to\infty}\sin n é o ínfimo dos limites de subsequências, isto é \inf[-1,1]=-1.
  • Para ficar concretinho: existem subsequências (n_k) com \sin n_k\to 1 (por aproximar \tfrac{\pi}{2} modulo 2\pi) e subsequências (m_k) com \sin m_k\to -1 (por aproximar \tfrac{3\pi}{2} modulo 2\pi). Isso exemplifica que tanto 1 quanto -1 são realmente atingíveis como limites de subsequências.

Resposta

\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\sin n = 1
\displaystyle \liminf_{n\to\infty}\sin n = -1

Exercícios relacionados