- B. Se
é uma sequência limitada em
, mostre que existe uma subsequência de
que converge para
.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência
limitada em
e pede que se mostre que existe uma subsequência de
que converge para
.
Informações relevantes fornecidas:
- A sequência
é limitada, ou seja, existe tal que para todo . - A tarefa é provar a existência de uma subsequência
tal que
Passo 2
Definição e construção útil: para cada
defina
Explico o que isso significa e por que é útil. Para cada
,
é o ínfimo (a maior das cotas inferiores) dos termos da sequência a partir de
. Logo, por definição de ínfimo, para todo
vale
em particular
Além disso, a sequência
é não decrescente: se
então o conjunto
é subconjunto de
, portanto a infimum do conjunto menor não pode ser menor que a infimum do conjunto maior; formalmente,
Passo 3
Mostro que
converge e que seu limite é exatamente
.
Como
é limitada,
também é limitada (por exemplo
). Sendo
não decrescente e limitada acima, pelo teorema do monotone convergence,
converge. Defina
Pelo modo como
foi definido, essa
é a definição de
. Ou seja,
Passo 4
Construção da subsequência que converge para
.
Vou construir índices
e, a partir deles, índices
que darão a subsequência desejada.
Como
, para cada
existe um índice
tal que
Escolha os
de modo estritamente crescente (por exemplo, tomar
suficientemente grande garante
).
Para cada
sabemos que
. Pela definição de ínfimo: para qualquer
existe algum índice
tal que
Aplicando com
, obtemos para cada
um índice
tal que
Note também que sempre vale
porque
é ínfimo do conjunto que contém
. Assim, para cada
temos a dupla desigualdade
Como escolhemos
estritamente crescentes e
, os índices
também formam uma sequência estritamente crescente; portanto
é de fato uma subsequência de
.
Passo 5
Passagem ao limite e conclusão pela desigualdade em sanduíche.
Tendo
e sabendo que
quando
e
, pela propriedade do “squeeze” (teorema do confronto) segue que
Portanto a subsequência
converge para
.
Passo 6
Comentário final e intuição (rápida, para motivar).
Intuitivamente: os
capturam os menores valores que ainda aparecem a partir de cada ponto. Esses mínimos parciais sobem e se estabilizam em
. Em cada etapa escolhemos um termo real da sequência que está muito próximo desse mínimo parcial: isso nos dá uma subsequência “apertando” para a frente até o valor limite
. Dá um pouco de trabalho formalizar índices, mas a ideia é essa — é praticamente a construção padrão em provas de análise real.
Resposta
Existe uma subsequência
de
tal que