[18 pts] Considere uma hipérbole com vértices
e
e focos afastados 10 unidades.
(a) Encontre uma equação para esta cônica.
(b) Esboce precisamente a seção cônica (indicando vértices, focos e assíntotas).
(a) Encontre uma equação para esta cônica.
(b) Esboce precisamente a seção cônica (indicando vértices, focos e assíntotas).
Passo 1
O enunciado trata de uma hipérbole com vértices em
e
e distância entre focos igual a
. O conteúdo aqui é geometria analítica de cônicas, mais precisamente hipérboles: vamos precisar determinar o centro, os parâmetros
,
e
, escrever a equação canônica e em seguida obter vértices, focos e assíntotas para o esboço.
Passo 2
O centro da hipérbole é o ponto médio dos vértices:
A semi-distância entre vértices é
Como a distância total entre focos é
, temos
e portanto
Em hipérbole horizontal vale
, logo
isto é,
.
Passo 3
A equação canônica de uma hipérbole de eixo transverso horizontal centrada em
é
Substituindo
,
,
,
obtém-se
Passo 4
Os pontos importantes e as retas auxiliares são:
- Vértices:
, ou seja e . - Focos:
, ou seja e . - Equações das assíntotas:
Passo 5
Para esboçar: desenhe o sistema de eixos, marque o centro
, os vértices
,
e os focos
,
. Trace as linhas
como assíntotas. Os dois ramos da hipérbole abrem-se para a esquerda e para a direita, aproximando-se dessas retas.
Resposta
(a)
(b) Vértices em
e
, focos em
e
, assíntotas dadas por
e ramos abertos horizontalmente.