[18 pts] Considere uma hipérbole com vértices (1,3) e (9,3) e focos afastados 10 unidades.
(a) Encontre uma equação para esta cônica.
(b) Esboce precisamente a seção cônica (indicando vértices, focos e assíntotas).

Passo 1

O enunciado trata de uma hipérbole com vértices em (1,3) e (9,3) e distância entre focos igual a 10. O conteúdo aqui é geometria analítica de cônicas, mais precisamente hipérboles: vamos precisar determinar o centro, os parâmetros a, c e b, escrever a equação canônica e em seguida obter vértices, focos e assíntotas para o esboço.

Passo 2

O centro da hipérbole é o ponto médio dos vértices:
(h,k) = l(tfrac1+92,,3r) = (5,3)
A semi-distância entre vértices é
a = distância do centro a cada vértice = 9-5 = 4 âé
Como a distância total entre focos é 10, temos 2c=10 e portanto
c = 5
Em hipérbole horizontal vale c^2 = a^2 + b^2, logo
b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 16 = 9,
isto é, b = 3.

Passo 3

A equação canônica de uma hipérbole de eixo transverso horizontal centrada em (h,k) é
(x-h)^2a^2 ;-;(y-k)^2b^2 ;=;1
Substituindo h=5, k=3, a^2=16, b^2=9 obtém-se
(x-5)^216 ;-;(y-3)^29 ;=;1

Passo 4

Os pontos importantes e as retas auxiliares são:
  • Vértices: (hpm a,k) = (5pm4,,3), ou seja (1,3) e (9,3).
  • Focos: (hpm c,k) = (5pm5,,3), ou seja (0,3) e (10,3).
  • Equações das assíntotas:
y - 3 = pm ba,(x - 5) Longrightarrow y - 3 = pm 34(x - 5)

Passo 5

Para esboçar: desenhe o sistema de eixos, marque o centro (5,3), os vértices (1,3), (9,3) e os focos (0,3), (10,3). Trace as linhas
y - 3 = 34(x - 5) e y - 3 = -34(x - 5)
como assíntotas. Os dois ramos da hipérbole abrem-se para a esquerda e para a direita, aproximando-se dessas retas.

Resposta

(a) (x-5)^216 ;-;(y-3)^29 = 1
(b) Vértices em (1,3) e (9,3), focos em (0,3) e (10,3), assíntotas dadas por
y - 3 = pm 34(x - 5),
e ramos abertos horizontalmente.

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