Derive as seguintes funções (sem utilizar a Regra da Cadeia):
f(x)=ln xx^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=ln xx^2,
que é um problema de derivadas de um quociente. Vamos evitar a Regra da Cadeia usando a Regra do Produto: primeiro reescrevemos f(x) de forma que apareça um produto de funções.

Passo 2

Reescrevendo em forma de produto, temos
f(x)=ln x cdot x^-2
Para derivar isso, aplicamos a Regra do Produto: se u(x)=ln x e v(x)=x^-2, então
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Agora derivamos cada fator separadamente, usando apenas potenciação e a conhecida derivada de ln x:
u'(x)=l(ln xr)'=1x,
v'(x)=l(x^-2r)'=-2,x^-3

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'v+u,v', obtém-se
f'(x)=1x,x^-2+(ln x)l(-2,x^-3r) = x^-3-2,x^-3ln x
Fatorando x^-3, resulta
f'(x)=x^-3l(1-2ln xr)

Resposta

f'(x)=1-2ln xx^3

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