[18 pts] Determine se a afirınativa é verdadeira ou falsa. Prove/desprove precisamente, ou mostre um contra-exemplo.
Se a, b in R^3 então b times(a+b)=-a times b

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, para quaisquer vec a,vec bin R^3, vale
vec b times (vec a + vec b) ;=;-,vec a times vec b
Como o produto vetorial em R^3 satisfaz as propriedades de distributividade e anticomutatividade, é isso que vamos usar na prova.

Passo 2

Aplicamos a distributividade do produto vetorial sobre a soma:
vec b times (vec a + vec b) ;=; vec b times vec a ;+;vec b times vec b

Passo 3

Observamos que todo vetor cruz si mesmo é o vetor nulo, isto é,
vec b times vec b = vec 0
Logo a expressão do passo anterior reduz-se a
vec b times (vec a + vec b) =; vec b times vec a

Passo 4

Usamos a anticomutatividade do produto vetorial, que diz
vec b times vec a = -,(vec a times vec b)
Portanto
vec b times (vec a + vec b) =; -,vec a times vec b

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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