1- (2,D portus) A soma de duas ondas resulta em:
y=0,2 \cos (0,1 \pi x-10 \pi t) \cos (8,7 \pi x-870 \pi t)
Queremos descobrir como eram as ondas cuja soma deu este resultado.
a) Em que sentido viaja cada uma das ondas somadas? Como sabe isso?
b) Qual a frequência (f) de cada uma das ondas somadas?
c) Qual a amplitude de cada uma das ondas somadas?
c) Qual a velocidade de propagação de cada uma das ondas somadas?

Passo 1

O enunciado dá a soma de duas ondas na forma
y=0,2\cos\bigl(0,1\pi x-10\pi t\bigr)\cos\bigl(8,7\pi x-870\pi t\bigr).
As perguntas são:
(a) Em que sentido viaja cada uma das ondas somadas? Como saber isso?
(b) Qual a frequência f de cada uma das ondas somadas?
(c) Qual a amplitude de cada uma das ondas somadas?
(c) (segunda vez) Qual a velocidade de propagação de cada uma das ondas somadas?
Informações relevantes que o enunciado fornece (escrevo exatamente o que há na expressão): o fator multiplicativo 0,2 e os argumentos dos cossenos \;0,1\pi x-10\pi t\; e \;8,7\pi x-870\pi t\;.

Passo 2

Entender a forma das ondas que estão sendo somadas: eu reconheço que o produto de cossenos pode ser reescrito como soma de cossenos usando a identidade trigonométrica
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr].
A ideia é transformar o produto em soma para identificar explicitamente as duas ondas somadas (cada termo de cosseno será uma onda simples da forma \cos(kx-\omega t)). Vou aplicar essa identidade ao produto presente no enunciado.

Passo 3

Aplicando a identidade ao produto com o fator 0,2:
y=0,2\cos A\cos B = 0,2\cdot\tfrac{1}{2}\bigl[\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr]=0,1\bigl[\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr],
onde defini \;A=0,1\pi x-10\pi t\; e \;B=8,7\pi x-870\pi t\;.

Passo 4

Calculo explícito de A+B e A-B:
A+B=(0,1\pi+8,7\pi)x-(10\pi+870\pi)t=8,8\pi x-880\pi t,
A-B=(0,1\pi-8,7\pi)x-(10\pi-870\pi)t=-8,6\pi x+860\pi t.
Repare que A-B=-(8,6\pi x-860\pi t), e como \cos(-\theta)=\cos\theta podemos escrever o segundo termo como \cos(8,6\pi x-860\pi t).

Passo 5

Portanto a soma fica organizada como duas ondas simples:
y=0,1\cos\bigl(8,8\pi x-880\pi t\bigr)+0,1\cos\bigl(8,6\pi x-860\pi t\bigr).
Conclusão imediata: as duas ondas somadas (cada termo) são
y_1=0,1\cos\bigl(8,8\pi x-880\pi t\bigr)\quad\text{e}\quad y_2=0,1\cos\bigl(8,6\pi x-860\pi t\bigr).
Aqui já vemos a amplitude, o número de onda k e a frequência angular \omega de cada uma.

Passo 6

Explico os conceitos usados (mini-aula rápida e prática):
  • Uma onda harmônica viajante unidimensional típica tem a forma \cos(kx-\omega t) (ou \cos(kx+\omega t)).
    • k é o número de onda, relacionado ao comprimento de onda \lambda por \;k=\dfrac{2\pi}{\lambda}\;.
    • \omega é a frequência angular, relacionada à frequência f por \;\omega=2\pi f\;.
    • Se o argumento é \;kx-\omega t\; a onda propaga-se no sentido positivo de x. Se for \;kx+\omega t\; ela vai no sentido negativo de x.
  • A velocidade de propagação v da onda é dada por \;v=\dfrac{\omega}{k}=\lambda f\;.
Vou aplicar essas relações às duas ondas identificadas.

Passo 7

Identifico para cada onda os parâmetros k e \omega:
  • Para y_1: \;k_1=8,8\pi\; e \;\omega_1=880\pi\;.
  • Para y_2: \;k_2=8,6\pi\; e \;\omega_2=860\pi\;.
Agora calculo frequência f, comprimento de onda \lambda e velocidade v usando as fórmulas acima.

Passo 8

Cálculo das frequências f:
f_1=\frac{\omega_1}{2\pi}=\frac{880\pi}{2\pi}=440,
f_2=\frac{\omega_2}{2\pi}=\frac{860\pi}{2\pi}=430.
Portanto f_1=440 e f_2=430 (unidade implícita: hertz).

Passo 9

Cálculo dos comprimentos de onda \lambda (apenas para auxiliar no cálculo da velocidade e intuição):
\lambda_1=\frac{2\pi}{k_1}=\frac{2\pi}{8,8\pi}=\frac{2}{8,8}=0,227272\ldots\approx0,2273,
\lambda_2=\frac{2\pi}{k_2}=\frac{2\pi}{8,6\pi}=\frac{2}{8,6}=0,232558\ldots\approx0,2326.

Passo 10

Cálculo das velocidades v usando v=\dfrac{\omega}{k} (ou v=f\lambda):
v_1=\frac{\omega_1}{k_1}=\frac{880\pi}{8,8\pi}=\frac{880}{8,8}=100,
v_2=\frac{\omega_2}{k_2}=\frac{860\pi}{8,6\pi}=\frac{860}{8,6}=100.
Portanto ambas as ondas propagam-se com velocidade 100 (unidade implícita: metros por segundo, se x está em metros e t em segundos).

Passo 11

Resumo interpretativo e resposta às perguntas:
  • Sentido de propagação: ambos os termos estão na forma \cos(kx-\omega t), logo viajam no sentido positivo de x. Eu sei isso porque o sinal entre kx e \omega t é negativo.
  • Frequências: obtidas de \omega=2\pi f.
  • Amplitudes: do resultado em soma, cada termo aparece multiplicado por 0,1 (porque 0,2\cdot\tfrac{1}{2}=0,1), então cada onda tem amplitude 0,1.
  • Velocidades: calculadas por v=\omega/k e ambas deram 100.

Resposta

(a) Ambas viajam no sentido positivo de x ( +x).
(b) f_1=440 Hz e f_2=430 Hz.
(c) Amplitude de cada onda: 0,1.
(c) Velocidade de propagação de cada onda: 100 (unidades compatíveis com x,t, por exemplo m/s).

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