1- (2,D portus) A soma de duas ondas resulta em:
Queremos descobrir como eram as ondas cuja soma deu este resultado.
a) Em que sentido viaja cada uma das ondas somadas? Como sabe isso?
b) Qual a frequência (f) de cada uma das ondas somadas?
c) Qual a amplitude de cada uma das ondas somadas?
c) Qual a velocidade de propagação de cada uma das ondas somadas?
a) Em que sentido viaja cada uma das ondas somadas? Como sabe isso?
b) Qual a frequência (f) de cada uma das ondas somadas?
c) Qual a amplitude de cada uma das ondas somadas?
c) Qual a velocidade de propagação de cada uma das ondas somadas?
Passo 1
O enunciado dá a soma de duas ondas na forma
As perguntas são:
(a) Em que sentido viaja cada uma das ondas somadas? Como saber isso?
(b) Qual a frequência de cada uma das ondas somadas?
(c) Qual a amplitude de cada uma das ondas somadas?
(c) (segunda vez) Qual a velocidade de propagação de cada uma das ondas somadas?
(a) Em que sentido viaja cada uma das ondas somadas? Como saber isso?
(b) Qual a frequência
(c) Qual a amplitude de cada uma das ondas somadas?
(c) (segunda vez) Qual a velocidade de propagação de cada uma das ondas somadas?
Informações relevantes que o enunciado fornece (escrevo exatamente o que há na expressão): o fator multiplicativo
e os argumentos dos cossenos
e
.
Passo 2
Entender a forma das ondas que estão sendo somadas: eu reconheço que o produto de cossenos pode ser reescrito como soma de cossenos usando a identidade trigonométrica
A ideia é transformar o produto em soma para identificar explicitamente as duas ondas somadas (cada termo de cosseno será uma onda simples da forma
). Vou aplicar essa identidade ao produto presente no enunciado.
Passo 3
Aplicando a identidade ao produto com o fator
:
onde defini
e
.
Passo 4
Calculo explícito de
e
:
Repare que
, e como
podemos escrever o segundo termo como
.
Passo 5
Portanto a soma fica organizada como duas ondas simples:
Conclusão imediata: as duas ondas somadas (cada termo) são
Aqui já vemos a amplitude, o número de onda
e a frequência angular
de cada uma.
Passo 6
Explico os conceitos usados (mini-aula rápida e prática):
- Uma onda harmônica viajante unidimensional típica tem a forma
(ou ). -
é o número de onda, relacionado ao comprimento de onda por . -
é a frequência angular, relacionada à frequência por . - Se o argumento é
a onda propaga-se no sentido positivo de . Se for ela vai no sentido negativo de .
-
- A velocidade de propagação
da onda é dada por .
Vou aplicar essas relações às duas ondas identificadas.
Passo 7
Identifico para cada onda os parâmetros
e
:
- Para
: e . - Para
: e .
Agora calculo frequência
, comprimento de onda
e velocidade
usando as fórmulas acima.
Passo 8
Cálculo das frequências
:
Portanto
e
(unidade implícita: hertz).
Passo 9
Cálculo dos comprimentos de onda
(apenas para auxiliar no cálculo da velocidade e intuição):
Passo 10
Cálculo das velocidades
usando
(ou
):
Portanto ambas as ondas propagam-se com velocidade
(unidade implícita: metros por segundo, se
está em metros e
em segundos).
Passo 11
Resumo interpretativo e resposta às perguntas:
- Sentido de propagação: ambos os termos estão na forma
, logo viajam no sentido positivo de . Eu sei isso porque o sinal entre e é negativo. - Frequências: obtidas de
. - Amplitudes: do resultado em soma, cada termo aparece multiplicado por
(porque ), então cada onda tem amplitude . - Velocidades: calculadas por
e ambas deram .
Resposta
(a) Ambas viajam no sentido positivo de
(
).
(b) Hz e
Hz.
(c) Amplitude de cada onda: .
(c) Velocidade de propagação de cada onda: (unidades compatíveis com
, por exemplo m/s).
(b)
(c) Amplitude de cada onda:
(c) Velocidade de propagação de cada onda: