18- Qual dos seguintes campos vetoriais é conservativo?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) NRA
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) NRA
Passo 1
O enunciado dá cinco campos vetoriais em
(cada um escrito na forma
) e pergunta qual deles é conservativo. As opções são:
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
- (e) NRA
O que é pedido: identificar qual (apenas uma) dessas alternativas representa um campo vetorial conservativo (ou dizer NRA se nenhuma for).
Informações relevantes dadas:
- Cada campo é definido por funções polinomiais
e , logo estão definidos em todo o plano ). - Como estão definidos em todo ), o domínio é simplesmente conexo (não há “buracos”), o que facilita o teste de conservatividade usando derivadas parciais.
Passo 2
Conceito e critério prático (aula rápida, bem mastigada):
- Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escala tal que . Isso significa - Um teste muito usado em duas variáveis: se
e têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo, então é conservativo se, e somente se, Por que isso funciona? Se existe, então (Clairaut), que vira exatamente . Em domínios sem buracos essa condição é suficiente também. - Procedimento prático na prova:
- Identificar
e . - Calcular
e . - Comparar; se iguais em todo o domínio e o domínio é simplesmente conexo, conclui-se conservativo.
- (Opcional) Encontrar
integrando em e ajustando com função de (ou integrar em e ajustar com função de ) para confirmar.
- Identificar
Passo 3
Aplicando o critério à opção (a).
- Para (a):
e . - Calcular as derivadas parciais:
- Como
em todo , a condição é satisfeita. Pelo fato do domínio ser (simplesmente conexo), concluímos que o campo da opção (a) é conservativo. - Para confirmar e para aprender a achar a função potencial
, integramos em : onde é uma “constante” de integração que pode depender só de . - Derivando essa
em relação a e igualando a para determinar : Como deve ser igual a , obtemos , logo é constante. Assim uma potencial válida é Verificação rápida: , que é exatamente o campo da opção (a).
Passo 4
Aplicando o critério à opção (b).
- Para (b):
e . - Calcular derivadas:
- Como
em geral (por exemplo para e são diferentes), a condição falha e o campo da opção (b) NÃO é conservativo.
Passo 5
Aplicando o critério à opção (c).
- Para (c):
e . - Derivadas:
- Essas expressões não são iguais para todo par
(só coincidem em casos especiais como ou ), então a condição global falha. Portanto (c) NÃO é conservativo.
Passo 6
Aplicando o critério à opção (d).
- Para (d):
e . - Derivadas:
- Essas são diferentes em geral (por exemplo, para
a igualdade não vale), logo (d) NÃO é conservativo.
Passo 7
Conclusão comparativa e motivação final:
- Só a opção (a) satisfaz
em todo o domínio , e por isso é o único campo conservativo entre as alternativas. - Nas provas, esse procedimento é rápido: identificar
, calcular duas parciais e compará-las. Se forem iguais e o domínio não tiver buracos, pronto — é conservativo. Se pedir, ache a potencial integrando como fiz no Passo 3.
Resposta
(a)