18- Qual dos seguintes campos vetoriais é conservativo?
(a) 2 x y^{3} \mathbf{i}+3 x^{2} y^{2} \mathbf{j}
(b) 2 x y^{2} \mathbf{i}+3 x^{2} y^{2} \mathbf{j}
(c) 2 x y^{3} \mathbf{i}+3 x^{2} y^{3} \mathbf{j}
(d) 2 x y^{3} \mathbf{i}+3 x y^{2} \mathbf{j}
(e) NRA

Passo 1

O enunciado dá cinco campos vetoriais em \mathbb{R}^2 (cada um escrito na forma P(x,y)\mathbf{i}+Q(x,y)\mathbf{j}) e pergunta qual deles é conservativo. As opções são:
  • (a) 2 x y^{3}\mathbf{i}+3 x^{2} y^{2}\mathbf{j}
  • (b) 2 x y^{2}\mathbf{i}+3 x^{2} y^{2}\mathbf{j}
  • (c) 2 x y^{3}\mathbf{i}+3 x^{2} y^{3}\mathbf{j}
  • (d) 2 x y^{3}\mathbf{i}+3 x y^{2}\mathbf{j}
  • (e) NRA
O que é pedido: identificar qual (apenas uma) dessas alternativas representa um campo vetorial conservativo (ou dizer NRA se nenhuma for).
Informações relevantes dadas:
  • Cada campo é definido por funções polinomiais P(x,y) e Q(x,y), logo estão definidos em todo o plano \(\mathbb{R}^2).
  • Como estão definidos em todo \(\mathbb{R}^2), o domínio é simplesmente conexo (não há “buracos”), o que facilita o teste de conservatividade usando derivadas parciais.

Passo 2

Conceito e critério prático (aula rápida, bem mastigada):
  • Um campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=P(x,y)\mathbf{i}+Q(x,y)\mathbf{j} é conservativo se existe uma função escala \varphi(x,y) tal que \mathbf{F}=\nabla\varphi. Isso significa \frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y), \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y).
  • Um teste muito usado em duas variáveis: se P e Q têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo, então \mathbf{F} é conservativo se, e somente se, \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.Por que isso funciona? Se \varphi existe, então \partial^2\varphi/(\partial y\partial x)=\partial^2\varphi/(\partial x\partial y) (Clairaut), que vira exatamente \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x. Em domínios sem buracos essa condição é suficiente também.
  • Procedimento prático na prova:
    1. Identificar P(x,y) e Q(x,y).
    2. Calcular \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x.
    3. Comparar; se iguais em todo o domínio e o domínio é simplesmente conexo, conclui-se conservativo.
    4. (Opcional) Encontrar \varphi integrando P em x e ajustando com função de y (ou integrar Q em y e ajustar com função de x) para confirmar.

Passo 3

Aplicando o critério à opção (a).
  • Para (a): P(x,y)=2x y^{3} e Q(x,y)=3 x^{2} y^{2}.
  • Calcular as derivadas parciais: \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2x y^{3}\big)=2x\cdot 3y^{2}=6x y^{2},
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(3 x^{2} y^{2}\big)=3\cdot 2x\cdot y^{2}=6x y^{2}.
  • Como \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=6x y^{2} em todo \mathbb{R}^2, a condição é satisfeita. Pelo fato do domínio ser \mathbb{R}^2 (simplesmente conexo), concluímos que o campo da opção (a) é conservativo.
  • Para confirmar e para aprender a achar a função potencial \varphi, integramos P em x: \varphi(x,y)=\int 2x y^{3}\,dx = x^{2} y^{3} + g(y),onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.
  • Derivando essa \varphi em relação a y e igualando a Q para determinar g: \frac{\partial \varphi}{\partial y}=3 x^{2} y^{2} + g'(y).Como deve ser igual a Q(x,y)=3 x^{2} y^{2}, obtemos g'(y)=0, logo g(y) é constante. Assim uma potencial válida é \varphi(x,y)=x^{2} y^{3} + C.Verificação rápida: \nabla\varphi=(2x y^{3})\mathbf{i}+(3x^{2} y^{2})\mathbf{j}, que é exatamente o campo da opção (a).

Passo 4

Aplicando o critério à opção (b).
  • Para (b): P(x,y)=2x y^{2} e Q(x,y)=3 x^{2} y^{2}.
  • Calcular derivadas: \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2x y^{2}\big)=2x\cdot 2y=4x y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{2} y^{2}\big)=6x y^{2}.
  • Como 4x y \neq 6x y^{2} em geral (por exemplo para x\neq 0 e y\neq 1 são diferentes), a condição falha e o campo da opção (b) NÃO é conservativo.

Passo 5

Aplicando o critério à opção (c).
  • Para (c): P(x,y)=2x y^{3} e Q(x,y)=3 x^{2} y^{3}.
  • Derivadas: \frac{\partial P}{\partial y}=6x y^{2}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=6x y^{3}.
  • Essas expressões não são iguais para todo par (x,y) (só coincidem em casos especiais como y=0 ou y=1), então a condição global falha. Portanto (c) NÃO é conservativo.

Passo 6

Aplicando o critério à opção (d).
  • Para (d): P(x,y)=2x y^{3} e Q(x,y)=3 x y^{2}.
  • Derivadas: \frac{\partial P}{\partial y}=6x y^{2}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=3 y^{2}.
  • Essas são diferentes em geral (por exemplo, para x\neq \tfrac{1}{2} a igualdade não vale), logo (d) NÃO é conservativo.

Passo 7

Conclusão comparativa e motivação final:
  • Só a opção (a) satisfaz \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo o domínio \mathbb{R}^2, e por isso é o único campo conservativo entre as alternativas.
  • Nas provas, esse procedimento é rápido: identificar P,Q, calcular duas parciais e compará-las. Se forem iguais e o domínio não tiver buracos, pronto — é conservativo. Se pedir, ache a potencial integrando como fiz no Passo 3.

Resposta

(a)

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