((e) NRA 20- Qual o valor de
, onde
é o círculo
?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) NRA
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) NRA
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha fechada
onde
é o círculo
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A curva
é o círculo unitário centrado na origem (raio ). - A integral é uma integral de linha fechada do tipo
com e .\n
O que se pede: - Calcular o valor numérico da integral fechada
.
Passo 2
Escolha do método: existem duas formas naturais de fazer esta integral.
- Parametrizar o círculo e integrar direto (método direto).
- Usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre o disco interior (método mais simples aqui).\n
Vou usar o Teorema de Green porque transforma a integral fechada numa integral dupla simples sobre o disco unitário e evita derivadas de funções trigonométricas durante uma parametrização. Além disso, a simetria da região facilita muito o cálculo.
Passo 3
Enunciado do Teorema de Green (forma usada): se
é uma curva fechada, simples e regularmente orientada no sentido positivo (anti-horário) que delimita uma região
, então
Explicando cada símbolo:
-
e são as componentes do campo usado na integral de linha. Aqui e . -
é a derivada parcial de em relação a . -
é a derivada parcial de em relação a . -
é o elemento de área na região (no plano, podemos usar ou, convenientemente, coordenadas polares ).\n
Observação sobre orientação: tradicionalmente a curva fechada é percorrida no sentido positivo (anti-horário). Se a orientação fosse negativa, o resultado teria sinal oposto. Aqui assumimos a orientação positiva, que é o padrão em exercícios desse tipo.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando de Green:
Portanto o integrando fica
Passo 5
Aplicando o Teorema de Green, a integral de linha vira a integral dupla sobre o disco unitário
:
Separe a integral em duas partes:
Passo 6
Avaliar cada termo:
- Área do disco unitário:
(Se preferir ver como integral em coordenadas polares:
Portanto
Passo 7
Somando os resultados:
Assim, a integral de linha pedida vale
.