((e) NRA 20- Qual o valor de \oint_{C}\left(x^{2}-y^{2}\right) d x+x d y, onde C é o círculo x^{2}+y^{2}=1 ?
(a) \pi
(b) 2 \pi
(c) 4 \pi
(d) 8 \pi
(e) NRA

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha fechada
\oint_{C}\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dx + x\,dy,
onde C é o círculo \,x^{2}+y^{2}=1.\n
Informações dadas:
  • A curva C é o círculo unitário centrado na origem (raio 1).
  • A integral é uma integral de linha fechada do tipo \oint_C P\,dx + Q\,dy com P(x,y)=x^{2}-y^{2} e Q(x,y)=x.\n
    O que se pede:
  • Calcular o valor numérico da integral fechada \oint_{C} (x^{2}-y^{2})\,dx + x\,dy.

Passo 2

Escolha do método: existem duas formas naturais de fazer esta integral.
  • Parametrizar o círculo e integrar direto (método direto).
  • Usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre o disco interior (método mais simples aqui).\n
    Vou usar o Teorema de Green porque transforma a integral fechada numa integral dupla simples sobre o disco unitário e evita derivadas de funções trigonométricas durante uma parametrização. Além disso, a simetria da região facilita muito o cálculo.

Passo 3

Enunciado do Teorema de Green (forma usada): se C é uma curva fechada, simples e regularmente orientada no sentido positivo (anti-horário) que delimita uma região D, então
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando cada símbolo:
  • P(x,y) e Q(x,y) são as componentes do campo usado na integral de linha. Aqui P(x,y)=x^{2}-y^{2} e Q(x,y)=x.
  • \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x.
  • \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.
  • dA é o elemento de área na região D (no plano, podemos usar dA=dx\,dy ou, convenientemente, coordenadas polares dA=r\,dr\,d\theta).\n
    Observação sobre orientação: tradicionalmente a curva fechada é percorrida no sentido positivo (anti-horário). Se a orientação fosse negativa, o resultado teria sinal oposto. Aqui assumimos a orientação positiva, que é o padrão em exercícios desse tipo.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr) = -2y.
Portanto o integrando fica
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-2y) = 1 + 2y.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Green, a integral de linha vira a integral dupla sobre o disco unitário D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}:
\oint_{C}\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dx + x\,dy = \iint_{D} (1+2y)\,dA.
Separe a integral em duas partes:
\iint_{D} (1+2y)\,dA = \iint_{D} 1\,dA \;+\; 2\iint_{D} y\,dA.

Passo 6

Avaliar cada termo:
  1. Área do disco unitário:
\iint_{D} 1\,dA = \text{Área}(D) = \pi\cdot 1^{2} = \pi.Á
(Se preferir ver como integral em coordenadas polares:
\iint_{D} 1\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\left[\tfrac{1}{2}r^{2}\right]_{0}^{1}d\theta = \int_{0}^{2\pi}\tfrac{1}{2}d\theta = \pi.) \) 2) Integral de \(y\) sobre o disco: a região \(D\) é simétrica em relação ao eixo \(x\). Para cada ponto \((x,y)\) em \(D\) existe o ponto \((x,-y)\) também em \(D\), e esses dois pontos contribuem com valores opostos para a função \(y\). Logo \[ \iint_{D} y\,dA = 0.
Portanto
2\iint_{D} y\,dA = 0.]

Passo 7

Somando os resultados:
\iint_{D} (1+2y)\,dA = \pi + 0 = \pi.
Assim, a integral de linha pedida vale \pi.

Resposta

\pi

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