18 Seja
, e seja
um subespaço gerado por
. Seja
um subespaço gerado por
. Mostre que
é soma direta de
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá
, o subespaço
e o subespaço
Queremos mostrar que
isto é, todo vetor de
pode ser escrito como soma de um vetor de
e um vetor de
, e a interseção
só contém o vetor zero.
Passo 2
Verificamos que
. Seja
. Então existem escalares
tais que
Comparando coordenadas, da primeira temos
e da segunda
. Logo
e então
. Assim
e
.
Passo 3
Mostramos que
. Tome um vetor arbitrário
. Queremos
tais que
Isso dá o sistema
isto é,
Escolhendo
e depois
, obtemos a decomposição desejada. Portanto qualquer
pertence a
.
Passo 4
Como
e
, concluímos que