18 Seja V=R^2, e seja W um subespaço gerado por (2,1). Seja U um subespaço gerado por (0,1). Mostre que V é soma direta de W e U.

Passo 1

O enunciado nos dá V=R^2, o subespaço
W=span(2,1)
e o subespaço
U=span(0,1)
Queremos mostrar que
V=Woplus U,
isto é, todo vetor de V pode ser escrito como soma de um vetor de W e um vetor de U, e a interseção Wcap U só contém o vetor zero.

Passo 2

Verificamos que Wcap U=0. Seja vin Wcap U. Então existem escalares alpha,beta tais que
v=alpha,(2,1) e v=beta,(0,1)
Comparando coordenadas, da primeira temos v=(2alpha,alpha) e da segunda v=(0,beta). Logo
2alpha=0 Longrightarrow alpha=0,
e então beta=alpha=0. Assim v=(0,0) e Wcap U=0.

Passo 3

Mostramos que W+U=V. Tome um vetor arbitrário (x,y)inR^2. Queremos alpha,beta tais que
alpha,(2,1)+beta,(0,1)=(x,y)
Isso dá o sistema
(2alpha,;alpha+beta)=(x,y),
isto é,
2alpha=x, alpha+beta=y
Escolhendo alpha=tfracx2 e depois beta=y-alpha, obtemos a decomposição desejada. Portanto qualquer (x,y) pertence a W+U.

Passo 4

Como Wcap U=0 e W+U=V, concluímos que
V=Woplus U

Resposta

V é soma direta de W e U, isto é, V=Woplus U.

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