13 Sejam
e
espaços vetoriais sobre
e
um isomorfismo. Se
e
forem subespaços de
, prove que
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um isomorfismo de espaços vetoriais sobre
e que
e
são subespaços de
. Precisamos usar que
é linear e bijetiva (isto é, injetiva e sobrejetiva) para mostrar duas igualdades de conjuntos envolvendo soma e interseção de subespaços.
Passo 2
Mostramos primeiro
De fato, seja
. Então existe
tal que
. Como
e
, segue
e
. Logo
.
Passo 3
Agora a inclusão recíproca
Seja
. Então existem
e
tais que
Pela injetividade de
,
. Esse vetor comum está em
, e portanto
Passo 4
Concluímos assim que
Passo 5
Agora provamos
Primeiro, seja
. Então existe
com
. Mas
significa
para algum
e
. Usando linearidade,
Passo 6
Para a inclusão inversa, seja
. Então
para algum
,
. Novamente, pela linearidade de
,
e como
, segue
.