13 Sejam V e W espaços vetoriais sobre K e psi: V W um isomorfismo. Se S e U forem subespaços de V, prove que psi(S) cap psi(U)=psi(S cap U) e psi(S+U)=psi(S)+psi(U).

Passo 1

O enunciado diz que psicolon Vto W é um isomorfismo de espaços vetoriais sobre K e que S e U são subespaços de V. Precisamos usar que psi é linear e bijetiva (isto é, injetiva e sobrejetiva) para mostrar duas igualdades de conjuntos envolvendo soma e interseção de subespaços.

Passo 2

Mostramos primeiro
psi(Scap U)subseteq psi(S)cap psi(U)
De fato, seja win psi(Scap U). Então existe vin Scap U tal que w=psi(v). Como vin S e vin U, segue winpsi(S) e winpsi(U). Logo win psi(S)cappsi(U).

Passo 3

Agora a inclusão recíproca
psi(S)cap psi(U)subseteq psi(Scap U)
Seja win psi(S)cappsi(U). Então existem sin S e uin U tais que
w=psi(s) e w=psi(u)
Pela injetividade de psi, s=u. Esse vetor comum está em Scap U, e portanto
w=psi(s)in psi(Scap U)

Passo 4

Concluímos assim que
psi(S)cap psi(U)=psi(Scap U)

Passo 5

Agora provamos
psi(S+U)=psi(S)+psi(U)
Primeiro, seja win psi(S+U). Então existe vin S+U com w=psi(v). Mas vin S+U significa v=s+u para algum sin S e uin U. Usando linearidade,
w=psi(v)=psi(s+u)=psi(s)+psi(u)in psi(S)+psi(U)

Passo 6

Para a inclusão inversa, seja win psi(S)+psi(U). Então
w=psi(s)+psi(u)
para algum sin S, uin U. Novamente, pela linearidade de psi,
w=psi(s+u),
e como s+uin S+U, segue win psi(S+U).

Resposta

psi(S)cap psi(U)=psi(Scap U)
psi(S+U)=psi(S)+psi(U)

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