9 Se S for subespaço de V3(R) gerado pelos vetores (1,2,-4) e (6,0,1) e W for o subespaço gerado por (-1,3,0) e (2,1,3), ache um vetor não nulo pertencente a S cap W.

Passo 1

O enunciado pede um vetor não nulo em Scap W, onde
S=span(1,2,-4),,(6,0,1), W=span(-1,3,0),,(2,1,3)
O conteúdo é resolver combinações lineares iguais em R^3.

Passo 2

Se xin Scap W, existem escalares a,b,c,d tais que
x = a(1,2,-4) + b(6,0,1) = c(-1,3,0) + d(2,1,3)

Passo 3

Igualando coordenadas obtemos o sistema
a + 6b = -,c + 2d, 2a = 3c + d, -4a + b = 3d

Passo 4

Da segunda equação isolamos
c = 2a - d3,
e da terceira
b = 4a + 3d
Substituindo essas expressões na primeira:
a + 6(4a+3d) = -2a-d3 + 2d ;Longrightarrow; 77,a + 47,d = 0 ;Longrightarrow; a = -4777,d

Passo 5

Escolhemos d=77 para ter a inteiro:
a=-47, b=4(-47)+3cdot77=43, c=2(-47)-773=-57
Então
x = a(1,2,-4) + b(6,0,1) = (-47, -94, 188) + (258,0,43) = (211,,-94,,231)

Resposta

Um vetor não nulo em Scap W é
(211,,-94,,231)

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