1.18 A tabela abaixo corresponde aos dados obtidos experimentalmente para um corpo em queda livre:
50,87
50,89
50,82
50,84
50,88
190,08
190,16
190,09
190,07
190,05
0,622
0,627
0,625
0,622
0,624
A equação que relaciona o tempo de queda com a altura
, quando o corpo parte do repouso, é
Calcule:
a) os valores médios de m , h e t;
b) os erros aleatórios prováveis de
e t ;
c) o valor de g com o respectivo erro propagado;
d) o trabalho realizado pelo campo gravitacional,
, com o respectivo erro propagado.
e) Escreva todos os resultados de acordo com a teoria de erros.
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50,87 | 50,89 | 50,82 | 50,84 | 50,88 |
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190,08 | 190,16 | 190,09 | 190,07 | 190,05 |
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0,622 | 0,627 | 0,625 | 0,622 | 0,624 |
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b) os erros aleatórios prováveis de
c) o valor de g com o respectivo erro propagado;
d) o trabalho realizado pelo campo gravitacional,
e) Escreva todos os resultados de acordo com a teoria de erros.
Passo 1
O enunciado dá medições experimentais de massa, altura e tempo (cada uma com incerteza do instrumento indicada) e pede cálculos estatísticos e propagação de erros. Vou listar claramente os dados que tenho (peguei estes números da tabela do enunciado):
- Número de medidas:
. - Medidas de massa (em gramas) e incerteza do instrumento:
- Medidas de altura (em centímetros) e incerteza do instrumento:
- Medidas de tempo (em segundos) e incerteza do instrumento:
- Relação física que liga as grandezas:
O enunciado pede:
a) valores médios de ;
b) erros aleatórios prováveis de (isto é, o erro aleatório típico da média);
c) valor de com erro propagado a partir de
e
;
d) trabalho com erro propagado;
e) apresentar os resultados conforme teoria de erros (valores com suas incertezas).
a) valores médios de
b) erros aleatórios prováveis de
c) valor de
d) trabalho
e) apresentar os resultados conforme teoria de erros (valores com suas incertezas).
Passo 2
Calcular as médias aritméticas (fórmula e aplicação).
- Fórmula da média: para dados
,
Cálculo das médias:
- Massa:
- Altura:
- Tempo:
Observação prática: para usar nas fórmulas físicas (por ex.
e
) convém converter unidades para SI:
Passo 3
Calcular os erros aleatórios prováveis (explicação didática e cálculos).
- Ideia: o “erro aleatório provável” que nos pediram é o erro da média devido à dispersão das medidas, isto é o erro padrão da média. Procedimento:
- Calcular a variância amostral
: - O desvio padrão amostral é
. - O erro provável da média (erro aleatório da média) é
mede a dispersão típica das medidas; ao tirar a média de medidas, essa dispersão reduz em um fator , daí . - Calcular a variância amostral
Agora aplico aos três conjuntos (mostro contas):
- Massa
:
diferenças à média (em g):.
quadrados:. Soma = .
- Altura
(em cm):
diferenças à média:.
quadrados:. Soma = .
Em metros:
- Tempo
(em s):
diferenças à média:.
quadrados:. Soma = .
Comentário prático: os erros fornecidos pelo instrumento (por ex.
em
e
em
) são da ordem ou maiores que os erros aleatórios que encontramos; para a propagação pedida usarei os erros aleatórios prováveis calculados acima (conforme item b).
Passo 4
Calcular
a partir da relação
(mostrando a fórmula invertida) e avaliar numericamente com as médias.
- Isolar
: - Substituir médias (usar
em metros, em segundos):
Aproximando:
.
Passo 5
Propagação do erro em
(aula prática de teoria de erros).
- Regra geral (para duas variáveis independentes
e ): se , Aqui e são os erros da média calculados no Passo 3 (em unidades SI). - Calcular derivadas:
- Substituir valores:
Uso
e
.
- Cálculo numérico das contribuições:
- Somando em quadratura:
Assim o resultado com erro propagado é, arredondando a incerteza a uma ordem lógica,
Observação: a incerteza é dominada pela contribuição do tempo
.
Passo 6
Calcular o trabalho
(valores médios) e propagar seu erro corretamente levando em conta dependência de
.
- Como
foi calculado a partir de e , é preferível escrever diretamente em termos das grandezas medidas independentes para evitar dupla contagem de incerteza. Substituindo em obtém-se: - Avaliação numérica com as médias (
em kg, em m, em s):
Passo 7
Propagação do erro em
(aula prática).
- Regra: para
(variáveis independentes), o erro é - Calcular derivadas:
- Substituir valores e erros (usando
, , ): -
Contribuição: -
Contribuição: -
Contribuição:
-
- Agora soma em quadratura:
Arredondando a incerteza de forma usual (uma casa significativa razoável),
Passo 8
Arrumando os resultados finais segundo a teoria de erros (comentário rápido sobre arredondamento).
- Regra prática: a incerteza costuma ser apresentada com uma ou, no máximo, duas cifras significativas; o valor medido é arredondado na mesma ordem decimal da incerteza.
- Com isso os resultados finais (valores médios e incertezas) ficam coerentes e prontos para apresentação.
Resposta
a) Valores médios:
,
,
b) Erros aleatórios prováveis (erro da média):
,
,
c) Aceleração da gravidade com erro propagado:
d) Trabalho realizado
com erro propagado:
e) Resultados escritos de acordo com teoria de erros (valores com suas incertezas):
;
;
;
;
.