1.18 A tabela abaixo corresponde aos dados obtidos experimentalmente para um corpo em queda livre:
\mathrm{m}(\mathrm{g}) 50,87 50,89 50,82 50,84 50,88
\pm 0,01 \pm 0,01 \pm 0,01 \pm 0,01 \pm 0,01
\mathrm{~h}(\mathrm{~cm}) 190,08 190,16 190,09 190,07 190,05
\pm 0,05 \pm 0,05 \pm 0,05 \pm 0,05 \pm 0,05
\mathrm{t}(\mathrm{s}) 0,622 0,627 0,625 0,622 0,624
\pm 0,001 \pm 0,001 \pm 0,001 \pm 0,001 \pm 0,001
A equação que relaciona o tempo de queda com a altura h, quando o corpo parte do repouso, é
h=\frac{1}{2} g t^{2}

Calcule:

a) os valores médios de m , h e t;
b) os erros aleatórios prováveis de \mathrm{m}, \mathrm{h} e t ;
c) o valor de g com o respectivo erro propagado;
d) o trabalho realizado pelo campo gravitacional, \mathrm{W}=\mathrm{mgh}, com o respectivo erro propagado.
e) Escreva todos os resultados de acordo com a teoria de erros.

Passo 1

O enunciado dá medições experimentais de massa, altura e tempo (cada uma com incerteza do instrumento indicada) e pede cálculos estatísticos e propagação de erros. Vou listar claramente os dados que tenho (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Número de medidas: N=5.
  • Medidas de massa (em gramas) e incerteza do instrumento: m: 50{,}87,\;50{,}89,\;50{,}82,\;50{,}84,\;50{,}88\qquad(\pm 0{,}01\\ \mathrm{g}\\ \text{cada})
  • Medidas de altura (em centímetros) e incerteza do instrumento: h: 190{,}08,\;190{,}16,\;190{,}09,\;190{,}07,\;190{,}05\qquad(\pm 0{,}05\\ \mathrm{cm}\\ \text{cada})
  • Medidas de tempo (em segundos) e incerteza do instrumento: t: 0{,}622,\;0{,}627,\;0{,}625,\;0{,}622,\;0{,}624\qquad(\pm 0{,}001\\ \mathrm{s}\\ \text{cada})
  • Relação física que liga as grandezas: h=\frac{1}{2} g t^{2}.
O enunciado pede:
a) valores médios de m,h,t;
b) erros aleatórios prováveis de m,h,t (isto é, o erro aleatório típico da média);
c) valor de g com erro propagado a partir de h e t;
d) trabalho W=mgh com erro propagado;
e) apresentar os resultados conforme teoria de erros (valores com suas incertezas).

Passo 2

Calcular as médias aritméticas (fórmula e aplicação).
  • Fórmula da média: para dados x_i, \bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i.
Cálculo das médias:
  • Massa: \sum m_i = 50{,}87+50{,}89+50{,}82+50{,}84+50{,}88 = 254{,}30
\bar{m}=\frac{254{,}30}{5}=50{,}86\\ \mathrm{g}.
  • Altura: \sum h_i = 190{,}08+190{,}16+190{,}09+190{,}07+190{,}05 = 950{,}45
\bar{h}=\frac{950{,}45}{5}=190{,}09\\ \mathrm{cm}.
  • Tempo: \sum t_i = 0{,}622+0{,}627+0{,}625+0{,}622+0{,}624 = 3{,}120
\bar{t}=\frac{3{,}120}{5}=0{,}624\\ \mathrm{s}.
Observação prática: para usar nas fórmulas físicas (por ex. g e W) convém converter unidades para SI:
\bar{m}=50{,}86\\ \mathrm{g}=0{,}05086\\ \mathrm{kg}, \qquad \bar{h}=190{,}09\\ \mathrm{cm}=1{,}9009\\ \mathrm{m}, \qquad \bar{t}=0{,}624\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Calcular os erros aleatórios prováveis (explicação didática e cálculos).
  • Ideia: o “erro aleatório provável” que nos pediram é o erro da média devido à dispersão das medidas, isto é o erro padrão da média. Procedimento:
    1. Calcular a variância amostral s^2: s^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (x_i-\bar{x})^2.
    2. O desvio padrão amostral é s=\sqrt{s^2}.
    3. O erro provável da média (erro aleatório da média) é \sigma_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{N}}.
    Explicação curta: s mede a dispersão típica das medidas; ao tirar a média de N medidas, essa dispersão reduz em um fator \sqrt{N}, daí \sigma_{\bar{x}}=s/\sqrt{N}.
Agora aplico aos três conjuntos (mostro contas):
  • Massa m:
    diferenças à média (em g): 0{,}01,\;0{,}03,\;-0{,}04,\;-0{,}02,\;0{,}02.
    quadrados: 0{,}0001,\;0{,}0009,\;0{,}0016,\;0{,}0004,\;0{,}0004. Soma = 0{,}0034. s_m^2=\frac{0{,}0034}{5-1}=0{,}00085\quad\Rightarrow\quad s_m=\sqrt{0{,}00085}=0{,}02915\\ \mathrm{g}.
\sigma_{\bar{m}}=\frac{s_m}{\sqrt{5}}=\frac{0{,}02915}{\sqrt{5}}=0{,}01303\\ \mathrm{g}\approx 0{,}013\\ \mathrm{g}.
  • Altura h (em cm):
    diferenças à média: -0{,}01,\;0{,}07,\;0{,}00,\;-0{,}02,\;-0{,}04.
    quadrados: 0{,}0001,\;0{,}0049,\;0{,}0,\;0{,}0004,\;0{,}0016. Soma = 0{,}0070. s_h^2=\frac{0{,}0070}{4}=0{,}00175\quad\Rightarrow\quad s_h=\sqrt{0{,}00175}=0{,}04183\\ \mathrm{cm}.
\sigma_{\bar{h}}=\frac{s_h}{\sqrt{5}}=\frac{0{,}04183}{\sqrt{5}}=0{,}01872\\ \mathrm{cm}\approx 0{,}019\\ \mathrm{cm}.
Em metros: \sigma_{\bar{h}}=0{,}01872\\ \mathrm{cm}=0{,}0001872\\ \mathrm{m}.
  • Tempo t (em s):
    diferenças à média: -0{,}002,\;0{,}003,\;0{,}001,\;-0{,}002,\;0{,}000.
    quadrados: 4{,}0\times10^{-6},\;9{,}0\times10^{-6},\;1{,}0\times10^{-6},\;4{,}0\times10^{-6},\;0. Soma = 18{,}0\times10^{-6}=1{,}8\times10^{-5}. s_t^2=\frac{1{,}8\times10^{-5}}{4}=4{,}5\times10^{-6}\quad\Rightarrow\quad s_t=\sqrt{4{,}5\times10^{-6}}=2{,}1213\times10^{-3}\\ \mathrm{s}.
\sigma_{\bar{t}}=\frac{s_t}{\sqrt{5}}=\frac{2{,}1213\times10^{-3}}{\sqrt{5}}=9{,}4868\times10^{-4}\\ \mathrm{s}\approx 0{,}00095\\ \mathrm{s}.
Comentário prático: os erros fornecidos pelo instrumento (por ex. \pm 0{,}05\\ \mathrm{cm} em h e \pm 0{,}001\\ \mathrm{s} em t) são da ordem ou maiores que os erros aleatórios que encontramos; para a propagação pedida usarei os erros aleatórios prováveis calculados acima (conforme item b).

Passo 4

Calcular g a partir da relação h=\tfrac12 g t^2 (mostrando a fórmula invertida) e avaliar numericamente com as médias.
  • Isolar g: g=\frac{2h}{t^2}.
  • Substituir médias (usar h em metros, t em segundos): g=\frac{2\cdot 1{,}9009}{(0{,}624)^2}=\frac{3{,}8018}{0{,}389376}=9{,}7629\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Aproximando: g\approx 9{,}763\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.

Passo 5

Propagação do erro em g (aula prática de teoria de erros).
  • Regra geral (para duas variáveis independentes h e t): se g=g(h,t), \sigma_g=\sqrt{\Big(\frac{\partial g}{\partial h}\sigma_h\Big)^2+\Big(\frac{\partial g}{\partial t}\sigma_t\Big)^2}.Aqui \sigma_h e \sigma_t são os erros da média calculados no Passo 3 (em unidades SI).
  • Calcular derivadas: g(h,t)=2h\,t^{-2}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial h}=\frac{2}{t^2},\qquad \frac{\partial g}{\partial t}=-\frac{4h}{t^3}.
  • Substituir valores: \frac{\partial g}{\partial h}=\frac{2}{(0{,}624)^2}= \frac{2}{0{,}389376}=5{,}13647\\ \mathrm{s^{-2}},
\frac{\partial g}{\partial t}=\frac{4\cdot 1{,}9009}{(0{,}624)^3}=\frac{7{,}6036}{0{,}2429696}=31{,}297\\ \mathrm{m\,s^{-3}}.
Uso \sigma_h=0{,}0001872\\ \mathrm{m} e \sigma_t=0{,}0009487\\ \mathrm{s}.
  • Cálculo numérico das contribuições: \left(\frac{\partial g}{\partial h}\sigma_h\right)=5{,}13647\times 0{,}0001872\approx 0{,}000961,
\left(\frac{\partial g}{\partial t}\sigma_t\right)=31{,}297\times 0{,}0009487\approx 0{,}0297.
  • Somando em quadratura: \sigma_g=\sqrt{(0{,}000961)^2+(0{,}0297)^2}\approx 0{,}0297\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Assim o resultado com erro propagado é, arredondando a incerteza a uma ordem lógica,
g=(9{,}76\pm 0{,}03)\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Observação: a incerteza é dominada pela contribuição do tempo t.

Passo 6

Calcular o trabalho W=mgh (valores médios) e propagar seu erro corretamente levando em conta dependência de m,h,t.
  • Como g foi calculado a partir de h e t, é preferível escrever W diretamente em termos das grandezas medidas independentes m,h,t para evitar dupla contagem de incerteza. Substituindo g=2h/t^2 em W=m g h obtém-se: W = m g h = m\frac{2h}{t^2}h = \frac{2 m h^2}{t^2}.
  • Avaliação numérica com as médias ( m em kg, h em m, t em s): W=\frac{2\cdot 0{,}05086\cdot (1{,}9009)^2}{(0{,}624)^2} =\frac{0{,}367556}{0{,}389376}\approx 0{,}9441\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Propagação do erro em W (aula prática).
  • Regra: para W(m,h,t)=2 m h^2 t^{-2} (variáveis independentes), o erro é \sigma_W=\sqrt{\Big(\frac{\partial W}{\partial m}\sigma_m\Big)^2+\Big(\frac{\partial W}{\partial h}\sigma_h\Big)^2+\Big(\frac{\partial W}{\partial t}\sigma_t\Big)^2 }.
  • Calcular derivadas: \frac{\partial W}{\partial m}=\frac{2 h^2}{t^2},\qquad \frac{\partial W}{\partial h}=\frac{4 m h}{t^2},\qquad \frac{\partial W}{\partial t}=-\frac{4 m h^2}{t^3}.
  • Substituir valores e erros (usando \sigma_m=0{,}013\\ \mathrm{g}=1{,}3\times10^{-5}\\ \mathrm{kg}, \sigma_h=0{,}0001872\\ \mathrm{m}, \sigma_t=0{,}0009487\\ \mathrm{s}):
    • \displaystyle \frac{\partial W}{\partial m}=\frac{2\cdot (1{,}9009)^2}{(0{,}624)^2}=18{,}568\\ \mathrm{J/kg}. Contribuição: 18{,}568\times1{,}3\times10^{-5}\approx 2{,}41\times10^{-4}\\ \mathrm{J}.
    • \displaystyle \frac{\partial W}{\partial h}=\frac{4\cdot 0{,}05086\cdot 1{,}9009}{(0{,}624)^2}\approx 0{,}9924\\ \mathrm{J/m}. Contribuição: 0{,}9924\times0{,}0001872\approx 1{,}86\times10^{-4}\\ \mathrm{J}.
    • \displaystyle \frac{\partial W}{\partial t}=-\frac{4\cdot 0{,}05086\cdot(1{,}9009)^2}{(0{,}624)^3}\approx -3{,}0256\\ \mathrm{J/s}. Contribuição: 3{,}0256\times0{,}0009487\approx 2{,}87\times10^{-3}\\ \mathrm{J}.
  • Agora soma em quadratura: \sigma_W=\sqrt{(2{,}41\times10^{-4})^2+(1{,}86\times10^{-4})^2+(2{,}87\times10^{-3})^2} \approx 2{,}88\times10^{-3}\\ \mathrm{J}.
Arredondando a incerteza de forma usual (uma casa significativa razoável),
W=(0{,}944\pm 0{,}003)\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Arrumando os resultados finais segundo a teoria de erros (comentário rápido sobre arredondamento).
  • Regra prática: a incerteza costuma ser apresentada com uma ou, no máximo, duas cifras significativas; o valor medido é arredondado na mesma ordem decimal da incerteza.
  • Com isso os resultados finais (valores médios e incertezas) ficam coerentes e prontos para apresentação.

Resposta

a) Valores médios: \bar{m}=50{,}86\\ \mathrm{g}, \bar{h}=190{,}09\\ \mathrm{cm}, \bar{t}=0{,}624\\ \mathrm{s}
b) Erros aleatórios prováveis (erro da média): \sigma_{\bar{m}}=0{,}013\\ \mathrm{g}, \sigma_{\bar{h}}=0{,}019\\ \mathrm{cm}, \sigma_{\bar{t}}=0{,}00095\\ \mathrm{s}
c) Aceleração da gravidade com erro propagado: g=(9{,}76\pm 0{,}03)\\ \mathrm{m\,s^{-2}}
d) Trabalho realizado W=mgh com erro propagado: W=(0{,}944\pm 0{,}003)\\ \mathrm{J}
e) Resultados escritos de acordo com teoria de erros (valores com suas incertezas):
\;m=(50{,}86\pm0{,}013)\\ \mathrm{g};
\;h=(190{,}09\pm0{,}019)\\ \mathrm{cm};
\;t=(0{,}624\pm0{,}00095)\\ \mathrm{s};
\;g=(9{,}76\pm0{,}03)\\ \mathrm{m\,s^{-2}};
\;W=(0{,}944\pm0{,}003)\\ \mathrm{J}.

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