Considere o enunciado abaixo para as questões de 1 a 5 .
Um capacitor de placas paralelas de área 4 centímetros quadrados e distância 4 milímetros entre as placas é carregado por uma bateria de tensão V=20 \mathrm{~V}. Este é o estado inicial do capacitor. Em seguida, a bateria é desligada e a distância entre as placas é aumèntada em 1 milímetro. Este é o estado final do capacitor.
5-(Camada 1) Marque abaixo a opção que representa a energia armazenada entre as placas no estado final:
(α) U_{f}=V^{2} \varepsilon_{0} / 25 \mathrm{~J}, em que V é a diferença de potencial inicial.
(β) U_{\mathrm{f}}=V^{2} \varepsilon_{0} / 16 \mathrm{~J}, em que V é a diferença de potencial inicial.
( \gamma ) U_{\mathbf{f}}=V^{2} \varepsilon_{0} / 20 \mathrm{~J}, em que V^{\prime} é a diferença de’potencial inicial.
5-(Camada 2) Marque abaixo a opção que justifique a resposta da questuàq anterior:
( \alpha ) A razão entre a diferença de potencial final e aydiferença de potencial inicial é igual a 5/4.
(β) A razão entre a diferença de potencial final e á diferença de potencial inicial é igual a 4/5.
( \gamma ) A razão entre a diferença de potencial final e a diferença de potencial inicial é igual a 1 !
Resposta Qúestão 5 (Preencher no Gabarito)
A combinação correta das respostas é:

Passo 1

O enunciado dá um capacitor de placas paralelas com as seguintes informações (peguei estes números do enunciado):
  • Área das placas: A=4\\ \text{cm}^2 = 4\times10^{-4}\\ \text{m}^2.
  • Distância inicial entre as placas: d_i=4\\ \text{mm}=4\times10^{-3}\\ \text{m}.
  • A bateria aplica uma diferença de potencial inicial V=20\\ \text{V}. (No restante vou manter V simbólico e só usar o valor numérico se precisar.)
  • A bateria é então desligada (portanto a carga no capacitor fica conservada).
  • Distância final entre as placas: d_f=d_i+1\\ \text{mm}=5\\ \text{mm}=5\times10^{-3}\\ \text{m}.
O que o exercício pede (duas coisas):
  • Camada 1: identificar qual das opções (α),(β),(γ) corresponde à energia armazenada no estado final U_f.
  • Camada 2: identificar qual das opções (α),(β),(γ) justifica a resposta (ou seja, qual é a razão entre a diferença de potencial final e a inicial).

Passo 2

Revisando a fórmula básica do capacitor de placas paralelas — é importante saber isto para começar:
A capacidade (capacitância) de um capacitor de placas paralelas é dada por
C=\varepsilon_{0}\frac{A}{d},
onde
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (constante),
  • A é a área das placas,
  • d é a separação entre as placas.
Aplicando isso ao estado inicial (substituindo A e d_i):
C_i = \varepsilon_{0}\frac{A}{d_i} = \varepsilon_{0}\frac{4\times10^{-4}}{4\times10^{-3}} = \varepsilon_{0}\frac{1}{10} = \frac{1}{10}\varepsilon_{0}.
Então a capacitância inicial é C_i=\dfrac{1}{10}\varepsilon_{0}. (Mostrei a conta passo a passo para você poder repetir rápido na prova.)

Passo 3

Quando a bateria é desligada, a carga no capacitor fica constante. Vamos escrever isso e calcular quantidades finais.
A carga inicial (igual à carga final, porque a bateria foi desconectada) é
Q = C_i V.
Agora calcule a capacitância final, com d_f=5\times10^{-3}\\ \text{m}:
C_f = \varepsilon_{0}\frac{A}{d_f} = \varepsilon_{0}\frac{4\times10^{-4}}{5\times10^{-3}} = \varepsilon_{0}\frac{4}{50} = \varepsilon_{0}\frac{2}{25}.
Também podemos relacionar C_f com C_i: como d_f/d_i = 5/4, então
C_f = C_i\cdot\frac{d_i}{d_f} = C_i\cdot\frac{4}{5}.

Passo 4

Agora a diferença de potencial final V_f (após aumentar a distância) é obtida por V_f = Q/C_f. Usando Q=C_i V obtemos
V_f = \frac{C_i V}{C_f} = V\cdot\frac{C_i}{C_f}.
Como C_f = C_i\cdot\frac{4}{5}, temos
\frac{C_i}{C_f}=\frac{1}{4/5}=\frac{5}{4},
logo
V_f = \frac{5}{4}\,V.
Isto quer dizer que a razão entre a diferença de potencial final e a inicial é \dfrac{V_f}{V}=\dfrac{5}{4}.
Essa é a justificativa pedida na Camada 2: a opção que afirma razão 5/4 é a correta.

Passo 5

Precisamos agora da energia armazenada no estado final U_f. Importante revisar as fórmulas de energia de um capacitor e quando usá-las:
  • Se a tensão V é constante (bateria conectada), usa-se \displaystyle U=\tfrac{1}{2} C V^{2}.
  • Se a carga Q é constante (bateria desconectada), uma forma conveniente é \displaystyle U=\frac{Q^{2}}{2C}.
  • Outra forma geral é \displaystyle U=\tfrac{1}{2} Q V (funciona sempre, desde que Q e V sejam os do mesmo estado).
Aqui a bateria foi desligada, então Q é constante; vou usar a forma \displaystyle U=\tfrac{1}{2}Q V no estado final (com V=V_f e Q=C_i V):
U_f = \frac{1}{2} Q V_f = \frac{1}{2} (C_i V)\,V_f.
Substituindo V_f=\dfrac{5}{4}V:
U_f = \frac{1}{2} C_i V \cdot \frac{5}{4}V = \frac{5}{8}\,C_i V^{2}.
Agora substitua C_i=\dfrac{1}{10}\varepsilon_{0}:
U_f = \frac{5}{8}\cdot\frac{1}{10}\varepsilon_{0}V^{2} = \frac{5}{80}\varepsilon_{0}V^{2} = \frac{1}{16}\varepsilon_{0}V^{2}.
Portanto a expressão final da energia armazenada no estado final é
U_f = \frac{1}{16}\,\varepsilon_{0}V^{2}.

Passo 6

Interpretação em termos das alternativas fornecidas:
  • Camada 1: a expressão correta é U_f = \dfrac{1}{16}\varepsilon_{0}V^{2}, que corresponde à opção (β).
  • Camada 2: a razão correta é \dfrac{V_f}{V}=\dfrac{5}{4}, que corresponde à opção (α).

Resposta

β e α

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