1.24 Um disco gira com velocidade angular \omega constante. Uma massa m é presa a um dinamômetro, que mede a força centrífuga \mathrm{F}_{\mathrm{c}} exercida pela massa. O dinamômetro atinge o equilíbrio quando a massa se encontra a uma distância r do centro do disco. A relação entre essas grandezas é F_{c}=m \omega^{2} r. Na tabela abaixo constam medidas de F_{c} e m, para uma distância de equilíbrio r=25,00 \mathrm{~cm}.
\mathrm{F}_{\mathrm{c}} (dina) 625 \pm 5 627 \pm 5 623 \pm 5 628 \pm 5 622 \pm 5
\mathrm{~m}(\mathrm{~g}) 100,2 99,8 100,0 99,7 100,3
\pm 0,1 \pm 0,1 \pm 0,1 \pm 0,1 \pm 0,1
Determine:
a) o valor mais provável de \mathrm{F}_{\mathrm{c}} e de m;
b) o erro aleatório provável de \mathrm{F}_{\mathrm{c}} e de m;
c) o valor de \omega com seu erro propagado, a partir dos valores obtidos nos itens (a) e (b).
d) Escreva seus resultados de acordo com a teoria de erros.

Passo 1

O enunciado dá a relação
F_{c}=m\omega^{2}r
com r=25{,}00\\ \text{cm}. Forneceu-se uma sequência de medições (peguei estes números da tabela):
  • Força centrífuga F_{c} (dina): 625\pm5,\;627\pm5,\;623\pm5,\;628\pm5,\;622\pm5.
  • Massa m (g): 100{,}2\pm0{,}1,\;99{,}8\pm0{,}1,\;100{,}0\pm0{,}1,\;99{,}7\pm0{,}1,\;100{,}3\pm0{,}1.
O que o problema pede:
a) o valor mais provável (a média) de F_{c} e de m;
b) o erro aleatório provável de F_{c} e de m;
c) o valor de \omega com seu erro propagado (usando os itens (a) e (b));
d) apresentar os resultados de acordo com a teoria de erros (ou seja, arredondar corretamente e escrever valor ± incerteza).
Observações que vou usar (explicarei as fórmulas em detalhe nos passos seguintes):
  • Para o valor mais provável: usar a média aritmética.
  • Para o erro aleatório provável: calcular a dispersão das medidas; apresento tanto o desvio padrão amostral s quanto o erro da média (desvio-padrão da média) \sigma_{\bar{x}}=s/\sqrt{N}; para a propagação do erro em \omega vou usar o erro da média \sigma_{\bar{x}}.
  • Unidades: mantemos o sistema CGS (dina, grama, centímetro) para que a fórmula seja consistente; \omega terá unidade \text{s}^{-1}.

Passo 2

Cálculo das médias (valor mais provável). A média aritmética de N medidas x_i é
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i.
Para F_{c}:
\bar{F}_{c}=\frac{625+627+623+628+622}{5}=\frac{3125}{5}=625{,}0\\ \text{dina}.
Para m:
\bar{m}=\frac{100{,}2+99{,}8+100{,}0+99{,}7+100{,}3}{5}=\frac{500{,}0}{5}=100{,}0\\ \text{g}.
Explicação curta: calcular a média é somar todas as medições e dividir pelo número de medições — isso dá o “valor mais provável” quando não há razão para preferir nenhuma medição isolada.

Passo 3

Cálculo do erro aleatório provável. Primeiro definimos o desvio-padrão amostral s, que mede a dispersão das medidas:
s=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (x_i-\bar{x})^2 }.
O erro da média (desvio-padrão da média), que é a incerteza na média por causa da dispersão aleatória das medições, é
\sigma_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{N}}.
Vou calcular ambos e depois escolho \sigma_{\bar{x}} para a propagação (é a incerteza associada ao valor mais provável obtido por média).
Para F_{c}:
  • Desvios em relação à média: 0,\;2,\;-2,\;3,\;-3 (dinas).
  • Quadrados: 0,\;4,\;4,\;9,\;9. Soma =26.
s_{F}=\sqrt{\frac{26}{5-1}}=\sqrt{\frac{26}{4}}=\sqrt{6{,}5}=2{,}5495\\ \text{dina}\\ (\text{aprox. }2{,}55).
\sigma_{\bar{F}}=\frac{s_{F}}{\sqrt{5}}=\frac{2{,}5495}{\sqrt{5}}=1{,}1402\\ \text{dina}\\ (\text{aprox. }1{,}14).
Para m:
  • Desvios em relação à média: +0{,}2,\;-0{,}2,\;0{,}0,\;-0{,}3,\;+0{,}3 (g).
  • Quadrados: 0{,}04,\;0{,}04,\;0,\;0{,}09,\;0{,}09. Soma =0{,}26.
s_{m}=\sqrt{\frac{0{,}26}{5-1}}=\sqrt{0{,}065}=0{,}25495\\ \text{g}\\ (\text{aprox. }0{,}255).
\sigma_{\bar{m}}=\frac{s_{m}}{\sqrt{5}}=\frac{0{,}25495}{\sqrt{5}}=0{,}1140\\ \text{g}\\ (\text{aprox. }0{,}114).
Comentário didático: s mede quanto as medidas individuais oscilam; \sigma_{\bar{x}} mostra quanto confiança temos na média obtida (quanto a média poderia variar se repetíssemos o experimento). Para propagar erro na \omega usaremos \sigma_{\bar{F}} e \sigma_{\bar{m}}.

Passo 4

Cálculo de \omega a partir das médias. A partir de
F_{c}=m\omega^{2}r
isolamos \omega:
\omega=\sqrt{\frac{F_{c}}{m\,r}}.
Substituindo os valores médios (mantendo unidades CGS: dina, g, cm):
\omega=\sqrt{\frac{\bar{F}_{c}}{\bar{m}\,r}} =\sqrt{\frac{625{,}0}{100{,}0\times25{,}00}} =\sqrt{\frac{625}{2500}}=\sqrt{0{,}25}=0{,}5\\ \text{s}^{-1}.
Explicação: em CGS, 1\\ \text{dina}=1\\ \text{g}\cdot\text{cm}/\text{s}^2, então as unidades cancelam corretamente e \omega tem unidade \text{s}^{-1}.

Passo 5

Propagação do erro em \omega. Usarei o método dos logaritmos (ou derivadas parciais) para chegar à expressão das incertezas relativas.
Como \omega=(F_{c})^{1/2}(m r)^{-1/2}, tomando logaritmo:
\ln\omega=\tfrac{1}{2}\ln F_{c}-\tfrac{1}{2}\ln m-\tfrac{1}{2}\ln r.
Assumindo que r é conhecido sem incerteza significativa, a incerteza relativa em \omega é
\frac{\sigma_{\omega}}{\omega}=\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{\sigma_{\bar{F}}}{\bar{F}_{c}}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{\bar{m}}}{\bar{m}}\right)^{2}}.
Substituindo os valores numéricos (usei \sigma_{\bar{F}}=1{,}1402\\ \text{dina}, \bar{F}_{c}=625{,}0\\ \text{dina}; \sigma_{\bar{m}}=0{,}1140\\ \text{g}, \bar{m}=100{,}0\\ \text{g}):
\frac{\sigma_{\omega}}{\omega}=\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{1{,}1402}{625{,}0}\right)^{2}+\left(\frac{0{,}1140}{100{,}0}\right)^{2}} =\frac{1}{2}\sqrt{(0{,}001824)^{2}+(0{,}001140)^{2}}.
Cálculo numérico:
(0{,}001824)^{2}=3{,}328\times10^{-6},\qquad (0{,}001140)^{2}=1{,}2996\times10^{-6},
\sqrt{3{,}328\times10^{-6}+1{,}2996\times10^{-6}}=\sqrt{4{,}6276\times10^{-6}}=0{,}002151.
\frac{\sigma_{\omega}}{\omega}=\frac{1}{2}\times0{,}002151=0{,}0010755.
Como \omega=0{,}5\\ \text{s}^{-1},
\sigma_{\omega}=\omega\times0{,}0010755=0{,}5\times0{,}0010755=0{,}0005378\\ \text{s}^{-1}\\ (\text{aprox. }5{,}38\times10^{-4}).
Interpretação: a incerteza em \omega é bastante pequena porque as médias foram bem determinadas; a incerteza relativa final é cerca de 0{,}11\%.

Passo 6

Apresentação final segundo a teoria de erros (arredondamento e formato x\pm\sigma).
Regras práticas que usei:
  • A incerteza \sigma é normalmente escrita com 1 (ou às vezes 2) algarismos significativos; o valor medido é então arredondado para a mesma ordem decimal da incerteza.
  • Usei a incerteza da média ( \sigma_{\bar{x}}) como “erro aleatório provável” para cada grandeza e como entrada para a propagação.
Aplicando isso:
  • Para \bar{F}_{c}=625{,}0\\ \text{dina} com \sigma_{\bar{F}}=1{,}1402\\ \text{dina}: mantenho uma algarismo significativo na incerteza \Rightarrow 1\\ \text{dina}. Então escrevo 625\pm1\\ \text{dina}.
  • Para \bar{m}=100{,}0\\ \text{g} com \sigma_{\bar{m}}=0{,}1140\\ \text{g}: incerteza com 1 algarismo significativo \Rightarrow 0{,}1\\ \text{g}. Então escrevo 100{,}0\pm0{,}1\\ \text{g}.
  • Para \omega=0{,}5000\\ \text{s}^{-1} com \sigma_{\omega}=0{,}0005378\\ \text{s}^{-1}: incerteza com 1 algarismo significativo \Rightarrow 0{,}0005\\ \text{s}^{-1}. Então escrevo 0{,}5000\pm0{,}0005\\ \text{s}^{-1}. (Note que o número de casas decimais de \omega foi ajustado para coincidir com a posição decimal da incerteza.)

Resposta

a) \bar{F}_{c}=625{,}0\\ \text{dina},\quad \bar{m}=100{,}0\\ \text{g}
b) Erro aleatório provável (desvio-padrão da média): \sigma_{\bar{F}}=1{,}14\\ \text{dina},\quad \sigma_{\bar{m}}=0{,}114\\ \text{g}
c) \omega=0{,}5000\\ \text{s}^{-1} com \sigma_{\omega}=0{,}00054\\ \text{s}^{-1} (valor não arredondado)
d) Resultados apresentados segundo a teoria de erros (arredondados):
  • F_{c}=625\pm1\\ \text{dina}
  • m=100{,}0\pm0{,}1\\ \text{g}
  • \omega=0{,}5000\pm0{,}0005\\ \text{s}^{-1}

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