1.24 Um disco gira com velocidade angular \omega constante. Uma massa m é presa a um dinamômetro, que mede a força centrífuga \mathrm{F}_{\mathrm{c}} exercida pela massa. O dinamômetro atinge o equilíbrio quando a massa se encontra a uma distância r do centro do disco. A relação entre essas grandezas é F_{c}=m \omega^{2} r. Na tabela abaixo constam medidas de F_{c} e m, para uma distância de equilíbrio r=25,00 \mathrm{~cm}.
\mathrm{F}_{\mathrm{c}} (dina)
625 \pm 5
627 \pm 5
623 \pm 5
628 \pm 5
622 \pm 5
\mathrm{~m}(\mathrm{~g})
100,2
99,8
100,0
99,7
100,3
\pm 0,1
\pm 0,1
\pm 0,1
\pm 0,1
\pm 0,1
Determine:
a) o valor mais provável de \mathrm{F}_{\mathrm{c}} e de m;
b) o erro aleatório provável de \mathrm{F}_{\mathrm{c}} e de m;
c) o valor de \omega com seu erro propagado, a partir dos valores obtidos nos itens (a) e (b).
d) Escreva seus resultados de acordo com a teoria de erros.
Passo 1
O enunciado dá a relação
F_{c}=m\omega^{2}r
com r=25{,}00\\ \text{cm}. Forneceu-se uma sequência de medições (peguei estes números da tabela):
Massa m (g): 100{,}2\pm0{,}1,\;99{,}8\pm0{,}1,\;100{,}0\pm0{,}1,\;99{,}7\pm0{,}1,\;100{,}3\pm0{,}1.
O que o problema pede:
a) o valor mais provável (a média) de F_{c} e de m;
b) o erro aleatório provável de F_{c} e de m;
c) o valor de \omega com seu erro propagado (usando os itens (a) e (b));
d) apresentar os resultados de acordo com a teoria de erros (ou seja, arredondar corretamente e escrever valor ± incerteza).
Observações que vou usar (explicarei as fórmulas em detalhe nos passos seguintes):
Para o valor mais provável: usar a média aritmética.
Para o erro aleatório provável: calcular a dispersão das medidas; apresento tanto o desvio padrão amostral s quanto o erro da média (desvio-padrão da média) \sigma_{\bar{x}}=s/\sqrt{N}; para a propagação do erro em \omega vou usar o erro da média \sigma_{\bar{x}}.
Unidades: mantemos o sistema CGS (dina, grama, centímetro) para que a fórmula seja consistente; \omega terá unidade \text{s}^{-1}.
Passo 2
Cálculo das médias (valor mais provável). A média aritmética de N medidas x_i é
Explicação curta: calcular a média é somar todas as medições e dividir pelo número de medições — isso dá o “valor mais provável” quando não há razão para preferir nenhuma medição isolada.
Passo 3
Cálculo do erro aleatório provável. Primeiro definimos o desvio-padrão amostral s, que mede a dispersão das medidas:
Comentário didático: s mede quanto as medidas individuais oscilam; \sigma_{\bar{x}} mostra quanto confiança temos na média obtida (quanto a média poderia variar se repetíssemos o experimento). Para propagar erro na \omega usaremos \sigma_{\bar{F}} e \sigma_{\bar{m}}.
Passo 4
Cálculo de \omega a partir das médias. A partir de
F_{c}=m\omega^{2}r
isolamos \omega:
\omega=\sqrt{\frac{F_{c}}{m\,r}}.
Substituindo os valores médios (mantendo unidades CGS: dina, g, cm):
Interpretação: a incerteza em \omega é bastante pequena porque as médias foram bem determinadas; a incerteza relativa final é cerca de 0{,}11\%.
Passo 6
Apresentação final segundo a teoria de erros (arredondamento e formato x\pm\sigma).
Regras práticas que usei:
A incerteza \sigma é normalmente escrita com 1 (ou às vezes 2) algarismos significativos; o valor medido é então arredondado para a mesma ordem decimal da incerteza.
Usei a incerteza da média (\sigma_{\bar{x}}) como “erro aleatório provável” para cada grandeza e como entrada para a propagação.
Aplicando isso:
Para \bar{F}_{c}=625{,}0\\ \text{dina} com \sigma_{\bar{F}}=1{,}1402\\ \text{dina}: mantenho uma algarismo significativo na incerteza \Rightarrow 1\\ \text{dina}. Então escrevo 625\pm1\\ \text{dina}.
Para \bar{m}=100{,}0\\ \text{g} com \sigma_{\bar{m}}=0{,}1140\\ \text{g}: incerteza com 1 algarismo significativo \Rightarrow 0{,}1\\ \text{g}. Então escrevo 100{,}0\pm0{,}1\\ \text{g}.
Para \omega=0{,}5000\\ \text{s}^{-1} com \sigma_{\omega}=0{,}0005378\\ \text{s}^{-1}: incerteza com 1 algarismo significativo \Rightarrow 0{,}0005\\ \text{s}^{-1}. Então escrevo 0{,}5000\pm0{,}0005\\ \text{s}^{-1}. (Note que o número de casas decimais de \omega foi ajustado para coincidir com a posição decimal da incerteza.)
Resposta
a) \bar{F}_{c}=625{,}0\\ \text{dina},\quad \bar{m}=100{,}0\\ \text{g}
b) Erro aleatório provável (desvio-padrão da média): \sigma_{\bar{F}}=1{,}14\\ \text{dina},\quad \sigma_{\bar{m}}=0{,}114\\ \text{g}
c) \omega=0{,}5000\\ \text{s}^{-1} com \sigma_{\omega}=0{,}00054\\ \text{s}^{-1} (valor não arredondado)
d) Resultados apresentados segundo a teoria de erros (arredondados):