7-18 Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
y=integral1-s^1 u^31+u^2 d u

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = integral1 - s^1 u^31 + u^2 , du
e pede y' = dyds usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar identificar o integrando f(u) e os limites de integração como funções de s.

Passo 2

Aqui temos
f(u) = u^31 + u^2,
o limite superior b(s) = 1 e o limite inferior a(s) = 1 - s.

Passo 3

Pela Parte 1 do TFC com limites variáveis, vale
ddsintegrala(s)^b(s)f(u),du = fl(b(s)r),b'(s);-;fl(a(s)r),a'(s)

Passo 4

Calculamos as derivadas dos limites:
b'(s) = 0 porque b(s)=1 é constante, e
a'(s) = dds(1 - s) = -1.
Logo
y' = f(1)cdot 0 ;-; f(1 - s)cdot(-1) = f(1 - s)

Passo 5

Substituindo f(u) em u = 1 - s, obtemos
y' = (1 - s)^31 + (1 - s)^2

Resposta

y' = (1 - s)^31 + (1 - s)^2

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