Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função y(t) em cada um dos itens a seguir.
y^prime+2 y=8
y(0)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y' + 2y = 8 com a condição inicial y(0) = 3 usando a transformada de Laplace. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que facilita a resolução de equações diferenciais transformando-as em equações algébricas mais fáceis de resolver. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades básicas da transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que:
Ly'(t) = sY(s) - y(0)
onde Y(s) é a transformada de Laplace de y(t) . Aplicando a transformada na equação y' + 2y = 8 :
Ly' + 2Ly = L8
Isso fica:
sY(s) - y(0) + 2Y(s) = 8s

Passo 3

Sabendo que y(0) = 3 , substituímos na equação:
sY(s) - 3 + 2Y(s) = 8s
Agora, vamos agrupar os termos que contêm Y(s) :
Y(s)(s + 2) = 8s + 3

Passo 4

Para isolar Y(s) , dividimos ambos os lados por s + 2 :
Y(s) = 8s + 3s + 2
Vamos simplificar o numerador combinando os termos:
Y(s) = 8 + 3ss(s + 2)

Passo 5

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais para facilitar a inversão da transformada de Laplace:
8 + 3ss(s + 2) = As + Bs + 2
Multiplicando ambos os lados por s(s + 2) para eliminar os denominadores:
8 + 3s = A(s + 2) + Bs

Passo 6

Vamos encontrar os valores de A e B :
  1. Para s = 0 :
8 + 0 = A(0 + 2) + B cdot 0 Rightarrow 8 = 2A Rightarrow A = 4
  1. Para s = -2 :
8 + 3(-2) = A(-2 + 2) + B(-2) Rightarrow 8 - 6 = 0 + (-2)B Rightarrow 2 = -2B Rightarrow B = -1

Passo 7

Substituindo A e B na decomposição das frações parciais:
Y(s) = 4s - 1s + 2
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar y(t) .

Passo 8

Conhecendo as transformadas inversas básicas:
L^-1 1s = 1
L^-1 1s + a = e^-at
Aplicando isso à nossa expressão para Y(s) :
y(t) = 4 cdot L^-1 1s - 1 cdot L^-1 1s + 2 = 4 cdot 1 - e^-2t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 4 - e^-2t

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