Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função
em cada um dos itens a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
usando a transformada de Laplace. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que facilita a resolução de equações diferenciais transformando-as em equações algébricas mais fáceis de resolver. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades básicas da transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que:
onde
é a transformada de Laplace de
. Aplicando a transformada na equação
:
Isso fica:
Passo 3
Sabendo que
, substituímos na equação:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 4
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Vamos simplificar o numerador combinando os termos:
Passo 5
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais para facilitar a inversão da transformada de Laplace:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 6
Vamos encontrar os valores de
e
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Substituindo
e
na decomposição das frações parciais:
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar
.
Passo 8
Conhecendo as transformadas inversas básicas:
Aplicando isso à nossa expressão para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: