Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função y(t) em cada um dos itens a seguir.
y^prime+2 y=0
y(0)=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
y' + 2y = 0
E a condição inicial é y(0) = 5 .
Para resolver isso, vamos precisar conhecer:
  • A Transformada de Laplace de funções derivadas.
  • As propriedades básicas da Transformada de Laplace.
  • Como aplicar a Transformada inversa para encontrar y(t) .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de y'(t) é:
Ly' = sY(s) - y(0)
Então, aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Ly' + 2Ly = L0
Isso dá:
sY(s) - y(0) + 2Y(s) = 0

Passo 3

Substituímos a condição inicial y(0) = 5 na equação:
sY(s) - 5 + 2Y(s) = 0
Agora, vamos juntar os termos que contêm Y(s) :
Y(s)(s + 2) = 5

Passo 4

Isolamos Y(s) para resolver na frequência de Laplace:
Y(s) = 5s + 2

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada inversa de Laplace para encontrar y(t) . Sabemos que:
L^-11s + a = e^-at
Então, aplicando isso:
y(t) = 5 cdot e^-2t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 5, e^-2t

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