Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função
em cada um dos itens a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
E a condição inicial é
.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer:
- A Transformada de Laplace de funções derivadas.
- As propriedades básicas da Transformada de Laplace.
- Como aplicar a Transformada inversa para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de
é:
Então, aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Isso dá:
Passo 3
Substituímos a condição inicial
na equação:
Agora, vamos juntar os termos que contêm
:
Passo 4
Isolamos
para resolver na frequência de Laplace:
Passo 5
Agora, aplicamos a Transformada inversa de Laplace para encontrar
. Sabemos que:
Então, aplicando isso:
Resposta
A solução da equação diferencial é: