7-18 Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
y=integrale^x^0 sen^3 t d t

Passo 1

O enunciado dá a função
y = integrale^x^0 sin^3t,dt
e pede y'=tfracdydx. Vamos usar a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia (ou regra de Leibniz para limites variáveis).

Passo 2

Invertemos os limites de integração para ter o limite superior variável só de um lado:
y = integrale^x^0sin^3t,dt = -integral0^,e^xsin^3t,dt

Passo 3

Definimos a função auxiliar
F(u) = integral0^usin^3t,dt
Pela Parte 1 do Teorema Fundamental,
F'(u)=sin^3u
Daí
y = -F(e^x)

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia em y = -F(e^x):
dydx = -,F'(e^x)cdotddxl(e^xr) = -sin^3l(e^xr)cdot e^x

Resposta

y' = -e^x,sin^3l(e^xr)

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