Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função
em cada um dos itens a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. O que temos aqui é
com a condição inicial
. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e funções básicas como
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de
é
, onde
é a transformada de
.
Passo 3
Substituindo as transformadas conhecidas:
Aqui, usamos que
.
Passo 4
Agora, substituímos a condição inicial
:
Passo 5
Vamos agrupar os termos com
:
Agora, isolamos
:
Para simplificar a segunda fração, fazemos uma decomposição em frações parciais:
Resolvendo, encontramos
,
, e
. Então:
Simplificando:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: