Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função y(t) em cada um dos itens a seguir.
y^prime+2 y=8 t
y(0)=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. O que temos aqui é y' + 2y = 8t com a condição inicial y(0) = 4 . Para resolver, vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e funções básicas como t .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de y'(t) é sY(s) - y(0) , onde Y(s) é a transformada de y(t) .
Ly' + 2Ly = L8t

Passo 3

Substituindo as transformadas conhecidas:
sY(s) - y(0) + 2Y(s) = 8s^2
Aqui, usamos que Lt = 1s^2 .

Passo 4

Agora, substituímos a condição inicial y(0) = 4 :
sY(s) - 4 + 2Y(s) = 8s^2

Passo 5

Vamos agrupar os termos com Y(s) :
(s + 2)Y(s) = 4 + 8s^2
Agora, isolamos Y(s) :
Y(s) = 4s + 2 + 8s^2(s + 2)
Para simplificar a segunda fração, fazemos uma decomposição em frações parciais:
8s^2(s + 2) = As + Bs^2 + Cs + 2
Resolvendo, encontramos A = -4 , B = 8 , e C = 4 . Então:
Y(s) = 4s + 2 - 4s + 8s^2 + 4s + 2
Simplificando:
Y(s) = 8s + 2 - 4s + 8s^2

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar y(t) :
y(t) = 8e^-2t - 4 + 8t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 8 e^-2 t - 4 + 8 t

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