1.8.18 A velocidade do fluxo bidimensional de um líquido é dada por
\mathbf{V}=\hat{\mathbf{x}} u(x, y)-\hat{\mathbf{y}} v(x, y) .
Se o líquido é incompressível e o fluxo é irrotacional, mostre que
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad \text { e } \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} .
Essas são as condições de Cauchy-Riemann da Seção 6.2.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional
\mathbf{V} = \hat{\mathbf{x}}\;u(x,y)\;-\;\hat{\mathbf{y}}\;v(x,y)
e diz que o líquido é incompressível (ou seja, divergente nulo) e irrotacional (ou seja, rotacional nulo). Queremos mostrar que essas duas condições implicam
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\,\frac{\partial v}{\partial x},
que são exatamente as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Para um campo vetorial \mathbf{V}=(V_x,V_y,0) a condição de incompressibilidade é
\nabla\cdot\mathbf{V}=0.
Aqui V_x = u(x,y) e V_y = -\,v(x,y). Logo
\nabla\cdot\mathbf{V} = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial(-v)}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} \;-\;\frac{\partial v}{\partial y} =0.
Desse modo obtemos a primeira condição de Cauchy–Riemann:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}.

Passo 3

Para o mesmo campo a condição de irrotacional em duas dimensões é que a componente z do rotacional seja nula, isto é
(\nabla\times\mathbf{V})\cdot\hat{\mathbf{z}}=0.
Calculando
(\nabla\times\mathbf{V})_z = \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} = \frac{\partial(-v)}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = -\,\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} =0.
Rearranjando, vem
\frac{\partial u}{\partial y} = -\,\frac{\partial v}{\partial x},
que é a segunda condição de Cauchy–Riemann.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\,\frac{\partial v}{\partial x}.

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