1.8.18 A velocidade do fluxo bidimensional de um líquido é dada por
Se o líquido é incompressível e o fluxo é irrotacional, mostre que
Essas são as condições de Cauchy-Riemann da Seção 6.2.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional
e diz que o líquido é incompressível (ou seja, divergente nulo) e irrotacional (ou seja, rotacional nulo). Queremos mostrar que essas duas condições implicam
que são exatamente as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Para um campo vetorial
a condição de incompressibilidade é
Aqui
e
. Logo
Desse modo obtemos a primeira condição de Cauchy–Riemann:
Passo 3
Para o mesmo campo a condição de irrotacional em duas dimensões é que a componente
do rotacional seja nula, isto é
Calculando
Rearranjando, vem
que é a segunda condição de Cauchy–Riemann.