Ache o trabalho realizado para percorrer um círculo unitário no plano x y :
(a) no sentido anti-horário de 0 \mathrm{a} \pi, realizando trabalho contra um campo de força dado por
\mathbf{F}=\frac{-\hat{\mathbf{x}} y}{x^{2}+y^{2}}+\frac{\hat{\mathbf{y}} x}{x^{2}+y^{2}}
Note que o trabalho realizado depende do trajeto.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por uma força externa para levar uma partícula ao longo do semi-círculo unitário no plano xy, de t=0 a t=\pi no sentido anti-horário, contra o campo de força
\mathbf{F}(x,y) =\frac{-\hat{\mathbf{x}}\,y}{x^{2}+y^{2}} +\frac{\hat{\mathbf{y}}\,x}{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial. Vamos parametrizar a curva, calcular \mathbf{F} nessa parametrização, fazer o produto escalar com \mathrm{d}\mathbf{r} e integrar.

Passo 2

Escolhemos a parametrização usual do semi-círculo unitário:
\mathbf{r}(t) = (\cos t,\;\sin t),\quad 0\le t\le \pi.
Logo,
\mathrm{d}\mathbf{r} = \bigl(-\sin t,\;\cos t\bigr)\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Substituindo x=\cos t e y=\sin t em \mathbf{F} obtemos
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =\bigl(-\sin t,\;\cos t\bigr).
O produto escalar é
\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =\bigl(-\sin t\bigr)\bigl(-\sin t\bigr)\,\mathrm{d}t +\bigl(\cos t\bigr)\bigl(\cos t\bigr)\,\mathrm{d}t =(\sin^{2}t+\cos^{2}t)\,\mathrm{d}t =\mathrm{d}t.

Passo 4

O trabalho feito pelo campo ao longo da curva é
\int_{0}^{\pi}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =\int_{0}^{\pi}1\,\mathrm{d}t =\pi.

Passo 5

Como queremos o trabalho realizado contra o campo, invertemos o sinal:
W = -\int_{0}^{\pi}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =-\pi.

Resposta

-\pi

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