1.8.17 O potencial vetorial \mathbf{A} de um dipolo magnético, momento de dipolo \mathbf{m}, é dado por \mathbf{A}(\mathbf{r})= \left(\mu_{0} / 4 \pi\right)\left(\mathbf{m} \times \mathbf{r} / r^{3}\right). Mostre que a indução magnética \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} é dada por
\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{3 \hat{\mathbf{r}}(\hat{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{m})-\mathbf{m}}{r^{3}} .
Nota: O processo limitador que resulta em dipolos pontuais é discutido na Seção 12.1 para dipolos elétricos e na Seção 12.5 para dipolos magnéticos.

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial vetorial de um dipolo magnético
\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^{3}}
e pede para mostrar que
\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A} = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{3\,\hat{\mathbf{r}}\,(\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{m})-\mathbf{m}}{r^{3}}.
O conteúdo aqui é cálculo vetorial: vamos usar a identidade
\nabla\times(\varphi\,\mathbf{u}) = \nabla\varphi\times\mathbf{u} + \varphi\,(\nabla\times\mathbf{u}),
onde \varphi é escalar e \mathbf{u} vetorial.

Passo 2

Definimos
\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{r^{3}}, \quad \mathbf{u}(\mathbf{r}) = \mathbf{m}\times\mathbf{r},
de modo que
\mathbf{A} = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\varphi\,\mathbf{u}.
Então
\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \Bigl(\nabla\varphi\times\mathbf{u} + \varphi\,(\nabla\times\mathbf{u})\Bigr).

Passo 3

Calculemos primeiro \nabla\varphi. Como \varphi = r^{-3}, usa-se
\nabla\bigl(r^{-3}\bigr) = -3\,r^{-5}\,\nabla r = -3\,\frac{\mathbf{r}}{r^{5}}.
Logo
\nabla\varphi = -3\,\frac{\mathbf{r}}{r^{5}}.

Passo 4

Agora \nabla\varphi\times\mathbf{u} é
-3\,\frac{\mathbf{r}}{r^{5}} \times (\mathbf{m}\times\mathbf{r}).
Pelo produto triplo vetorial
\mathbf{r}\times(\mathbf{m}\times\mathbf{r}) = \mathbf{m}\,(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}) - \mathbf{r}\,(\mathbf{r}\cdot\mathbf{m}) = r^{2}\,\mathbf{m} - (\mathbf{r}\cdot\mathbf{m})\,\mathbf{r}.
Assim
\nabla\varphi\times\mathbf{u} = -3\,\frac{r^{2}\,\mathbf{m} - (\mathbf{r}\cdot\mathbf{m})\,\mathbf{r}}{r^{5}} = -\frac{3\,\mathbf{m}}{r^{3}} + \frac{3\,\mathbf{r}\,(\mathbf{r}\cdot\mathbf{m})}{r^{5}}.

Passo 5

Falta \nabla\times\mathbf{u} com \mathbf{u}=\mathbf{m}\times\mathbf{r}. Como \mathbf{m} é constante, usamos a identidade
\nabla\times(\mathbf{a}\times\mathbf{r}) = \mathbf{a}\,(\nabla\cdot\mathbf{r}) - (\mathbf{a}\cdot\nabla)\,\mathbf{r},
onde \nabla\cdot\mathbf{r}=3 e (\mathbf{m}\cdot\nabla)\mathbf{r}=\mathbf{m}. Então
\nabla\times\mathbf{u} = 3\,\mathbf{m} - \mathbf{m} = 2\,\mathbf{m}.

Passo 6

Juntando as duas partes no curl de \mathbf{A}:
\nabla\varphi\times\mathbf{u} + \varphi\,(\nabla\times\mathbf{u}) = \Bigl(-\frac{3\mathbf{m}}{r^{3}} + \frac{3\,\mathbf{r}\,(\mathbf{r}\cdot\mathbf{m})}{r^{5}}\Bigr) + \frac{1}{r^{3}}\,(2\,\mathbf{m}).
Agrupando termos em \mathbf{m} e \mathbf{r}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{m}):
= -\frac{3\mathbf{m}}{r^{3}} + \frac{2\mathbf{m}}{r^{3}} + \frac{3\,\mathbf{r}\,(\mathbf{r}\cdot\mathbf{m})}{r^{5}} = -\frac{\mathbf{m}}{r^{3}} + \frac{3\,\mathbf{r}\,(\mathbf{r}\cdot\mathbf{m})}{r^{5}}.

Passo 7

Como \hat{\mathbf{r}} = \mathbf{r}/r, notamos que \mathbf{r}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{m})/r^{5} = \hat{\mathbf{r}}\bigl(\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{m}\bigr)/r^{3}. Portanto
\nabla\times\mathbf{A} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \Bigl( -\frac{\mathbf{m}}{r^{3}} + \frac{3\,\hat{\mathbf{r}}\,(\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{m})}{r^{3}} \Bigr) = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{3\,\hat{\mathbf{r}}\,(\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{m})-\mathbf{m}}{r^{3}}.

Resposta

\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A} = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{3\,\hat{\mathbf{r}}\,(\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{m})-\mathbf{m}}{r^{3}}.

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