Q 183 Determine o volume máximo de um cilindro circular reto que pode ser inscrito em:
(a) Um cone de 12 cm de altura e 4 cm de raio da base, se os eixos do cilindro e do cone coincidem;
(b) Um cone de altura H e raio da base R, se os eixos do cilindro e do cone coincidem. [Este item generaliza o item (a)]

Passo 1

O enunciado pede o volume máximo de um cilindro de raio r e altura h inscrito em um cone de altura H e raio da base R, com eixos coincidentes. Vamos usar semelhança de triângulos para relacionar r e h.

Passo 2

Pela semelhança entre o triângulo gerador do cone e o triângulo formado pelo cilindro, vale
rH - h ;=;RH
logo
r = RH,(H - h)

Passo 3

O volume do cilindro é
V(h) ;=;pi,r^2,h ;=;pi,l(RH(H - h)r)^2,h ;=;pi,R^2H^2,(H - h)^2,h

Passo 4

Para achar o máximo, definimos
g(h) = (H - h)^2,h
e calculamos
g'(h) = (H - h)^2 - 2h,(H - h) = (H - h),(H - 3h)
As raízes de g'(h)=0 são h=H (caso degenerado) e h=tfracH3. O máximo não trivial ocorre em
h = H3

Passo 5

Substituindo h=tfracH3 em r e em V, obtemos
r = RHl(H - H3r) = 2R3, Vmax = pil(2R3r)^2H3 = 4pi,R^2,H27

Passo 6

No item (a) temos H=12 cm e R=4 cm. Logo
h = 123 = 4 cm, r = 2cdot43 = 83 cm, Vmax = 4picdot4^2cdot1227 = 256pi9,cm^3

Resposta

(a) 256pi9,cm^3
(b) 4pi,R^2,H27.

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