Q 183 Determine o volume máximo de um cilindro circular reto que pode ser inscrito em:
(a) Um cone de 12 cm de altura e 4 cm de raio da base, se os eixos do cilindro e do cone coincidem;
(b) Um cone de altura
e raio da base
, se os eixos do cilindro e do cone coincidem. [Este item generaliza o item (a)]
(a) Um cone de 12 cm de altura e 4 cm de raio da base, se os eixos do cilindro e do cone coincidem;
(b) Um cone de altura
Passo 1
O enunciado pede o volume máximo de um cilindro de raio
e altura
inscrito em um cone de altura
e raio da base
, com eixos coincidentes. Vamos usar semelhança de triângulos para relacionar
e
.
Passo 2
Pela semelhança entre o triângulo gerador do cone e o triângulo formado pelo cilindro, vale
logo
Passo 3
O volume do cilindro é
Passo 4
Para achar o máximo, definimos
e calculamos
As raízes de
são
(caso degenerado) e
. O máximo não trivial ocorre em
Passo 5
Substituindo
em
e em
, obtemos
Passo 6
No item (a) temos
cm e
cm. Logo
Resposta
(a)
(b) .
(b)