Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
f(x)=(ln x)^2+2^x^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x) = (ln x)^2 + 2^x^3. Vamos usar as regras básicas de derivação: para uma soma, derivamos termo a termo; para uma potência de função, usamos a regra da cadeia; e para uma exponencial de base a, lembramos que ddxa^u(x) = a^u(x)ln(a),u'(x).

Passo 2

Derivando o primeiro termo g(x) = (ln x)^2. Aqui temos uma composição g(x) = [u(x)]^2 com u(x)=ln x. Pela regra da cadeia:
g'(x) = 2,u(x),u'(x) = 2,ln x cdot ddx(ln x) = 2,ln x cdot 1x = 2ln xx

Passo 3

Derivando o segundo termo h(x) = 2^x^3. É uma exponencial de base 2 com expoente u(x)=x^3. Usando ddx2^u(x) = 2^u(x)ln(2),u'(x) e u'(x)=3x^2, obtemos:
h'(x) = 2^x^3ln(2)cdot 3x^2 = 3x^2,2^x^3,ln(2)

Passo 4

Somando as derivadas dos termos:
f'(x) = g'(x) + h'(x) = 2ln xx + 3x^2,2^x^3,ln(2)

Resposta

f'(x) = 2ln xx + 3x^2,2^x^3,ln(2)

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