4.8U Mostre que
, onde
representa o momento de inércia, com relação ao eixo
, do sólido com densidade de massa
, delimitado por
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
onde
é o momento de inércia do sólido
em torno do eixo
, com densidade
. Para isso vamos usar o Teorema da Divergência (ou de Gauss), que relaciona uma integral de superfície à integral do divergente no volume interno.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
Então a integral de superfície fica
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência,
Calculamos o divergente:
Fazendo as derivadas,
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Passo 4
Substituindo no volume,