4.8U Mostre que integral duplaS(x^2+y^2)(x i+y j) cdot eta d S=4 Iz, onde Iz representa o momento de inércia, com relação ao eixo z, do sólido com densidade de massa rho equiv 1, delimitado por S.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
integral duplaSl(x^2+y^2r),(x,i+y,j)cdotboldsymboleta ,dS ;=;4,Iz,
onde Iz é o momento de inércia do sólido V em torno do eixo z, com densidade rhoequiv1. Para isso vamos usar o Teorema da Divergência (ou de Gauss), que relaciona uma integral de superfície à integral do divergente no volume interno.

Passo 2

Definimos o campo vetorial
F(x,y,z) = l(x^2+y^2r),(x,i+y,j) ;=; l(x^3+x,y^2r),i ;+; l(x^2,y+y^3r),j ;+;0,k
Então a integral de superfície fica
integral duplaSl(x^2+y^2r),(x,i+y,j)cdotboldsymboleta,dS = integral duplaSFcdotboldsymboleta,dS

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
integral duplaSFcdotboldsymboleta,dS = integral triplaVnabla!cdotF;dV
Calculamos o divergente:
nabla!cdotF = partialpartial xl(x^3+x,y^2r) +partialpartial yl(x^2,y+y^3r) +partialpartial z(0)
Fazendo as derivadas,
partialpartial x(x^3+x,y^2) =3x^2+y^2, partialpartial y(x^2,y+y^3) =x^2+3y^2,
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nabla!cdotF =(3x^2+y^2)+(x^2+3y^2)=4(x^2+y^2)

Passo 4

Substituindo no volume,
integral triplaVnabla!cdotF;dV = integral triplaV4,(x^2+y^2);dV = 4, underbraceintegral triplaV(x^2+y^2),dVIz = 4,Iz

Resposta

integral duplaSl(x^2+y^2r),(x,i+y,j)cdotboldsymboleta ,dS =4,Iz

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