4.8T Considere uma distribuição uniforme de carga elétrica sobre uma esfera
de raio
. Mostre que o campo elétrico num ponto do eixo
interior a
é zero. Qual o campo elétrico nos pontos do eixo
exteriores à esfera
? [resp.
. Note que o fenômeno ocorre como se toda carga estivesse concentrada no centro da esfera]
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico gerado por uma casca esférica de raio
com densidade superficial de carga uniforme
, em pontos do eixo
. Precisamos mostrar que para
(interior) vale
, e para
(exterior) vale
O conteúdo principal é usar a Lei de Gauss em unidades gaussianas, aproveitando a simetria esférica.
Passo 2
Pela simetria esférica, o campo
só depende da distância radial
ao centro e é radial. Em unidades gaussianas a Lei de Gauss diz
onde
é a carga envolvida pela superfície gaussiana
.
Passo 3
Para um ponto interno (
) escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
. Como toda a carga está na casca de raio
, dentro dela não há carga:
Logo, em qualquer ponto do eixo com
temos
.
Passo 4
Para um ponto externo (
) usamos uma esfera gaussiana de raio
. Agora toda a carga da casca está dentro, e seu total é
Aplicando Gauss:
No eixo
isso aponta na direção
.
Resposta
Para
:
Para
:
como se toda carga estivesse concentrada no centro da esfera.