4.8T Considere uma distribuição uniforme de carga elétrica sobre uma esfera S de raio a. Mostre que o campo elétrico num ponto do eixo z interior a S é zero. Qual o campo elétrico nos pontos do eixo z exteriores à esfera S ? [resp. E(0,0, z)=4 pi a^2 rhoz^2 k. Note que o fenômeno ocorre como se toda carga estivesse concentrada no centro da esfera]

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico gerado por uma casca esférica de raio a com densidade superficial de carga uniforme rho, em pontos do eixo z. Precisamos mostrar que para |z|<a (interior) vale vec E=0, e para |z|>a (exterior) vale
vec E(0,0,z)=4pi a^2rhoz^2,vec k
O conteúdo principal é usar a Lei de Gauss em unidades gaussianas, aproveitando a simetria esférica.

Passo 2

Pela simetria esférica, o campo vec E só depende da distância radial r ao centro e é radial. Em unidades gaussianas a Lei de Gauss diz
oint Svec Ecdot dvec A ;=;4pi,Qrm int,
onde Qrm int é a carga envolvida pela superfície gaussiana S.

Passo 3

Para um ponto interno ( r< a) escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r. Como toda a carga está na casca de raio a, dentro dela não há carga:
Qrm int=0 Longrightarrow oint E,dA=4picdot0=0 Longrightarrow E(r)=0
Logo, em qualquer ponto do eixo com |z|<a temos vec E=0.

Passo 4

Para um ponto externo ( r> a) usamos uma esfera gaussiana de raio r. Agora toda a carga da casca está dentro, e seu total é
Qrm int =rhotimesárea da casca =rho,(4pi a^2) á
Aplicando Gauss:
E(r),4pi r^2 ;=;4pi,Qrm int ;=;4pi,(4pi a^2rho) ;Longrightarrow; E(r)=4pi a^2rhor^2
No eixo z>0 isso aponta na direção vec k.

Resposta

Para |z|<a:
vec E(0,0,z)=0
Para |z|>a:
vec E(0,0,z) =4pi a^2rhoz^2,vec k,
como se toda carga estivesse concentrada no centro da esfera.

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