Q 184 Levando em consideração o roteiro apresentado acima construa o gráfico para cada função abaixo.
f(x)=-x^3+3 x-2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função
f(x)=-x^3+3x-2
Isso envolve identificar domínio, interceptos, extremos (usando derivada), concavidade e ponto de inflexão (usando segunda derivada), e depois juntar tudo num esboço.

Passo 2

Domínio e interceptos:
– Como f é polinomial, o domínio é todo R.
– Intercepto em y: basta x=0:
f(0)=-2,
logo ponto (0,-2).
– Raízes (interceptos em x): resolvemos
-x^3+3x-2=0 Long<=ftrightarrow x^3-3x+2=0
Testando x=1 1-3+2=0, logo fatoramos
x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)^2(x+2)
As raízes são x=-2 (simples) e x=1 (multiplicidade 2). Pontos: (-2,0) e (1,0), onde em x=1 a curva “toca” o eixo e volta.

Passo 3

Monotonicidade e extremos via primeira derivada:
f'(x)=ddxl(-x^3+3x-2r)=-3x^2+3=-3(x^2-1)
Zera em x=pm1. Analisando sinais:
– Para x<-1, x^2-1>0implies f'<0 (decrescente).
– Para -1<x<1, x^2-1<0implies f'>0 (crescente).
– Para x>1, x^2-1>0implies f'<0 (decrescente).
Assim
– Em x=-1 há mínimo local.
f(-1)=-(-1)^3+3(-1)-2=1-3-2=-4
– Em x=1 há máximo local.
f(1)=-1+3-2=0

Passo 4

Concavidade e ponto de inflexão pela segunda derivada:
f''(x)=ddxl(-3x^2+3r)=-6x
Zera em x=0. Para x<0, f''(x)>0 (concavidade para cima); para x>0, f''(x)<0 (concavidade para baixo). Logo (0,-2) é ponto de inflexão.

Passo 5

Esboço do gráfico:
– Termos dominantes: limxto-inftyf(x)=+infty e limxto+inftyf(x)=-infty.
– Pontos chave:
bul<=t Raízes em (-2,0) e (1,0) (esta última de toque).
bul<=t Mínimo local em (-1,-4).
bul<=t Ponto de inflexão em (0,-2).
bul<=t Máximo local em (1,0).
– Trajetória: vem de +infty quando xto-infty, decresce até (-1,-4), cresce até (1,0) passando por inflexão em (0,-2), e depois decresce para -infty.

Resposta

O gráfico é um “S” invertido com as seguintes características:
bul<=t Cresce até o mínimo em (-1,-4),
bul<=t Passa pelo ponto de inflexão (0,-2),
bul<=t Atinja o máximo em (1,0) (toque simples no eixo x),
bul<=t Cai para -infty quando xto+infty,
bul<=t E sobe para +infty quando xto-infty.

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