Q 184 Levando em consideração o roteiro apresentado acima construa o gráfico para cada função abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico da função
Isso envolve identificar domínio, interceptos, extremos (usando derivada), concavidade e ponto de inflexão (usando segunda derivada), e depois juntar tudo num esboço.
Passo 2
Domínio e interceptos:
– Como é polinomial, o domínio é todo
.
– Intercepto em : basta
:
– Como
– Intercepto em
logo ponto
.
– Raízes (interceptos em ): resolvemos
– Raízes (interceptos em
Testando
dá
, logo fatoramos
As raízes são
(simples) e
(multiplicidade
). Pontos:
e
, onde em
a curva “toca” o eixo e volta.
Passo 3
Monotonicidade e extremos via primeira derivada:
Zera em
. Analisando sinais:
– Para ,
(decrescente).
– Para ,
(crescente).
– Para ,
(decrescente).
Assim
– Em há mínimo local.
– Para
– Para
– Para
Assim
– Em
– Em
há máximo local.
Passo 4
Concavidade e ponto de inflexão pela segunda derivada:
Zera em
. Para
,
(concavidade para cima); para
,
(concavidade para baixo). Logo
é ponto de inflexão.
Passo 5
Esboço do gráfico:
– Termos dominantes: e
.
– Pontos chave:
Raízes em
e
(esta última de toque).
Mínimo local em
.
Ponto de inflexão em
.
Máximo local em
.
– Trajetória: vem de quando
, decresce até
, cresce até
passando por inflexão em
, e depois decresce para
.
– Termos dominantes:
– Pontos chave:
– Trajetória: vem de
Resposta
O gráfico é um “S” invertido com as seguintes características:
Cresce até o mínimo em
,
Passa pelo ponto de inflexão
,
Atinja o máximo em
(toque simples no eixo
),
Cai para
quando
,
E sobe para
quando
.