(2,0) Em 1845, Buys Ballot testou pela primeira vez o efeito Doppler para o som. Ele colocou um trompetista em um vagão plano rebocado por uma locomotiva e outro próximo dos trilhos. Se cada cada músico tocasse uma nota de 440 Hz , e se houvesse 4,0 batimentos por segundo à medida que se aproximassem, qual seria a velocidade do vagão?

Passo 1

O enunciado diz que cada trompetista toca \,440 Hz e, ao se aproximarem, ouve-se uma batida de \,4{,}0 Hz. Isso é efeito Doppler: a diferença de frequências entre o som recebido e o som emitido dá o número de batimentos por segundo. Vamos calcular a velocidade v do vagão sabendo que a velocidade do som é cerca de 340\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Quando o observador se move em direção à fonte estacionária, a frequência percebida é
f_{\rm obs} = f_0\,\frac{v_{\rm som}+v}{v_{\rm som}}.
Quando a fonte se move em direção ao ouvinte estacionário, a frequência percebida é
f_{\rm obs} = f_0\,\frac{v_{\rm som}}{v_{\rm som}-v}.
Em ambos os casos, para v\ll v_{\rm som}, a diferença
\Delta f = f_{\rm obs}-f_0
aproxima-se de
\Delta f \approx f_0\,\frac{v}{v_{\rm som}}.
Aqui \Delta f é justamente a taxa de batimentos, 4{,}0 Hz.

Passo 3

Da relação
4{,}0 = 440 \,\frac{v}{340}
isolamos v:
v = \frac{4{,}0 \times 340}{440}.

Passo 4

Fazendo a conta,
v \approx \frac{1360}{440} \approx 3{,}1\\ \mathrm{m/s},
o que equivale a cerca de 11 km/h.

Resposta

\,v \approx 3{,}1\\ \mathrm{m/s}

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