(2,0) Um sistema oscilante bloco-mola possui energia mecantica igual a 2,0 \mathrm{~J} a uma amplitude de 10,0 \mathrm{~cm} e velocidade máxima de 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a) (\mathbf{0 , 7 5}) a constante elástica da mola, b) (0,75) a massa do bloco e c) (0,5) a frequencia de oscilação.

Passo 1

O enunciado dá um bloco preso a uma mola que oscila sem atrito, com energia mecânica total E=2{,}0\:\mathrm{J}, amplitude A=10{,}0\:\mathrm{cm}=0{,}10\:\mathrm{m} e velocidade máxima v_{\max}=2{,}0\:\mathrm{m/s}. Vamos usar: conservação da energia no MHS e as relações
E=\tfrac12kA^2,\quad E=\tfrac12mv_{\max}^2,\quad v_{\max}=A\omega,\quad \omega=2\pi f,\quad \omega^2=\frac{k}{m}.

Passo 2

Para achar a constante elástica k, usamos a energia armazenada na mola:
E=\tfrac12\,k\,A^2
Logo
k=\frac{2E}{A^2}=\frac{2\times2{,}0}{(0{,}10)^2}=\frac{4{,}0}{0{,}01}=400\:\mathrm{N/m}.

Passo 3

Para encontrar a massa m, usamos a energia cinética máxima no ponto de passagem pela posição de equilíbrio:
E=\tfrac12\,m\,v_{\max}^2
Logo
m=\frac{2E}{v_{\max}^2}=\frac{2\times2{,}0}{(2{,}0)^2}=\frac{4{,}0}{4{,}0}=1{,}0\:\mathrm{kg}.

Passo 4

Para determinar a frequência f, primeiro calculamos a frequência angular \omega pela relação
v_{\max}=A\,\omega\quad\Longrightarrow\quad \omega=\frac{v_{\max}}{A}=\frac{2{,}0}{0{,}10}=20\:\mathrm{s^{-1}}.
Em seguida
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{20}{2\pi}\approx3{,}18\:\mathrm{Hz}.

Resposta

a) k=400\:\mathrm{N/m}.
b) m=1{,}0\:\mathrm{kg}.
c) f\approx3{,}18\:\mathrm{Hz}.

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