A equação de Horton foi determinada para uma área e obteve-se a equação abaixo. Considerando uma chuva com intensidade de 100 mm entre 0 e 30 minutos e 10 mm entre 30 e 60 minutos, uniforme sobre uma área de 10 \mathrm{~m}^{2}, calcule o volume de água escoado e o volume de água infiltrado.
f(t)=1+8 \mathrm{e}^{-2,5 t} \quad \mathrm{f}(\mathrm{~cm} / \mathrm{h}) ; \mathrm{t}(\mathrm{~h})

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o volume de água escoado (runoff) e o volume de água infiltrado numa área de 10\\ \mathrm{m}^2, sabendo que a chuva foi de 100\\ \mathrm{mm} entre 0 e 30 minutos e 10\\ \mathrm{mm} entre 30 e 60 minutos, uniforme na área. A equação de Horton dada é
f(t)=1+8\,\mathrm{e}^{-2,5t}\quad (\mathrm{cm/h}),\quad t\\ (\mathrm{h}).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Área }A = 10\\ \mathrm{m}^2.Á
\text{Precipitação: }100\\ \mathrm{mm}\text{ em }[0,30\\ \text{min}],\quad 10\\ \mathrm{mm}\text{ em }[30,60\\ \text{min}].çã
f(t)\text{ (capacidade de infiltração) em }(\mathrm{cm/h}).çã
O objetivo final é dar os volumes (em \mathrm{m}^3) de água infiltrada e de água escoada durante 0\le t\le 1\\ \mathrm{h}.

Passo 2

Converto as chuvas em profundidades e intensidades (unidades compatíveis com f(t)):
100\\ \mathrm{mm}=10\\ \mathrm{cm},\qquad 10\\ \mathrm{mm}=1\\ \mathrm{cm}.
Cada intervalo tem duração 30 minutos =0{,}5\\ \mathrm{h}. Assim as intensidades (em \mathrm{cm/h}) são:
r(t)=\begin{cases} r_1= \dfrac{10\\ \mathrm{cm}}{0{,}5\\ \mathrm{h}}=20\\ \mathrm{cm/h}, & 0\le t<0{,}5,\\[6pt] r_2= \dfrac{1\\ \mathrm{cm}}{0{,}5\\ \mathrm{h}}=2\\ \mathrm{cm/h}, & 0{,}5\le t\le 1. \end{cases}]

Passo 3

Interpreto que a infiltração real i(t) a cada instante é o mínimo entre a capacidade f(t) e a intensidade de chuva r(t):
i(t)=\min\{f(t),\,r(t)\}.
Portanto preciso comparar f(t)=1+8\mathrm{e}^{-2,5t} com r_1=20 (primeiro intervalo) e com r_2=2 (segundo intervalo) para identificar em quais subintervalos a infiltração é limitada por f ou por r.

Passo 4

Faço algumas avaliações de f(t) para ver a relação:
f(0)=1+8\mathrm{e}^{0}=9\\ \mathrm{cm/h}<20,
f(0{,}5)=1+8\mathrm{e}^{-1{,}25}\approx 3{,}292\\ \mathrm{cm/h}.
Logo, no primeiro intervalo 0\le t<0{,}5 temos f(t)<r_1, portanto i(t)=f(t) ali. No segundo intervalo 0{,}5\le t\le 1 no início f(0{,}5)\approx 3{,}292>2, mas no final f(1)\approx 1{,}657<2. Então existe um tempo t^*\in(0{,}5,1) tal que f(t^*)=2; para 0{,}5\le t<t^* vale i(t)=r_2=2 e para t^*\le t\le1 vale i(t)=f(t).

Passo 5

Determino t^* resolvendo
1+8\mathrm{e}^{-2,5t^*}=2.
Isolando a exponencial:
8\mathrm{e}^{-2,5t^*}=1\quad\Rightarrow\quad \mathrm{e}^{-2,5t^*}=\tfrac{1}{8}.
Tomando logaritmo:
-2{,}5t^*=\ln\!\left(\tfrac{1}{8}\right)=-\ln 8\quad\Rightarrow\quad t^*=\dfrac{\ln 8}{2{,}5}.
Calculo numérico:
\ln 8\approx 2{,}079441542,\qquad t^*\approx \dfrac{2{,}079441542}{2{,}5}=0{,}8317766\\ \mathrm{h}\approx 49{,}9\\ \text{min}.

Passo 6

Agora escrevo a expressão da infiltração total (profundidade infiltrada em \mathrm{cm}) como integral de i(t) em 0 a 1 hora, dividida nos três trechos identificados:
I=\int_{0}^{0{,}5} f(t)\,dt\;+\;\int_{0{,}5}^{t^*} r_2\,dt\;+\;\int_{t^*}^{1} f(t)\,dt.
Encontro a primitiva de f(t). Como
f(t)=1+8\mathrm{e}^{-2,5t},
uma primitiva é
F(t)=\int f(t)\,dt = t - \dfrac{8}{2{,}5}\mathrm{e}^{-2,5t}=t-3{,}2\,\mathrm{e}^{-2,5t}.

Passo 7

Calculo o primeiro integral usando F:
\int_{0}^{0{,}5} f(t)\,dt = F(0{,}5)-F(0) = \Big(0{,}5-3{,}2\mathrm{e}^{-1{,}25}\Big)-\Big(0-3{,}2\mathrm{e}^{0}\Big).
Como \mathrm{e}^{-1{,}25}\approx 0{,}2865048,
3{,}2\mathrm{e}^{-1{,}25}\approx 0{,}9168153,
então
\int_{0}^{0{,}5} f(t)\,dt \approx 0{,}5-0{,}9168153+3{,}2=3{,}7-0{,}9168153\approx 2{,}783185\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

O segundo integral é simples (intensidade constante r_2=2\\ \mathrm{cm/h}):
\int_{0{,}5}^{t^*} r_2\,dt = r_2\,(t^*-0{,}5)=2\cdot(0{,}8317766-0{,}5)\approx 2\cdot0{,}3317766\approx 0{,}663553\\ \mathrm{cm}.

Passo 9

O terceiro integral usa F novamente:
\int_{t^*}^{1} f(t)\,dt = F(1)-F(t^*).
Já que \mathrm{e}^{-2,5t^*}=\tfrac{1}{8}, temos F(t^*)=t^*-3{,}2\cdot\tfrac{1}{8}=t^*-0{,}4.
Calculo F(1)=1-3{,}2\mathrm{e}^{-2{,}5}. Como \mathrm{e}^{-2{,}5}\approx 0{,}0820850,
3{,}2\mathrm{e}^{-2{,}5}\approx 0{,}262672,\quad F(1)\approx 1-0{,}262672=0{,}737328.
Logo
\int_{t^*}^{1} f(t)\,dt \approx 0{,}737328-(t^*-0{,}4)=1{,}137328-t^* \approx 1{,}137328-0{,}8317766\approx 0{,}3055514\\ \mathrm{cm}.

Passo 10

Somando os três termos obtenho a profundidade total infiltrada:
I\approx 2{,}783185+0{,}663553+0{,}3055514\approx 3{,}7522894\\ \mathrm{cm}.
A precipitação total foi 10\\ \mathrm{cm}+1\\ \mathrm{cm}=11\\ \mathrm{cm}. Portanto a profundidade escoada (runoff depth) é
R=11- I\approx 11-3{,}7522894\approx 7{,}2477106\\ \mathrm{cm}.

Passo 11

Converto profundidades em volumes na área A=10\\ \mathrm{m}^2. Uma profundidade de 1\\ \mathrm{cm} sobre 1\\ \mathrm{m}^2 corresponde a 0{,}01\\ \mathrm{m}^3. Portanto sobre 10\\ \mathrm{m}^2 cada centímetro de profundidade corresponde a 0{,}1\\ \mathrm{m}^3. Assim:
V_{\text{infiltrado}}=I\cdot 0{,}1\approx 3{,}7522894\cdot0{,}1\approx 0{,}37522894\\ \mathrm{m}^3,
V_{\text{escoado}}=R\cdot 0{,}1\approx 7{,}2477106\cdot0{,}1\approx 0{,}72477106\\ \mathrm{m}^3.
Arredondando razoavelmente (4 casas decimais):
V_{\text{infiltrado}}\approx 0{,}3752\\ \mathrm{m}^3,\qquad V_{\text{escoado}}\approx 0{,}7248\\ \mathrm{m}^3.

Resposta

V_{\text{escoado}} = 0{,}7248\\ \mathrm{m}^3
V_{\text{infiltrado}} = 0{,}3752\\ \mathrm{m}^3

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