A equação de Horton foi determinada para uma área e obteve-se a equação abaixo. Considerando uma chuva com intensidade de 100 mm entre 0 e 30 minutos e 10 mm entre 30 e 60 minutos, uniforme sobre uma área de 10 \mathrm{~m}^{2}, calcule o volume de água escoado e o volume de água infiltrado.
O enunciado pede que eu calcule o volume de água escoado (runoff) e o volume de água infiltrado numa área de 10\\ \mathrm{m}^2, sabendo que a chuva foi de 100\\ \mathrm{mm} entre 0 e 30 minutos e 10\\ \mathrm{mm} entre 30 e 60 minutos, uniforme na área. A equação de Horton dada é
Interpreto que a infiltração real i(t) a cada instante é o mínimo entre a capacidade f(t) e a intensidade de chuva r(t):
i(t)=\min\{f(t),\,r(t)\}.
Portanto preciso comparar f(t)=1+8\mathrm{e}^{-2,5t} com r_1=20 (primeiro intervalo) e com r_2=2 (segundo intervalo) para identificar em quais subintervalos a infiltração é limitada por f ou por r.
Passo 4
Faço algumas avaliações de f(t) para ver a relação:
Logo, no primeiro intervalo 0\le t<0{,}5 temos f(t)<r_1, portanto i(t)=f(t) ali. No segundo intervalo 0{,}5\le t\le 1 no início f(0{,}5)\approx 3{,}292>2, mas no final f(1)\approx 1{,}657<2. Então existe um tempo t^*\in(0{,}5,1) tal que f(t^*)=2; para 0{,}5\le t<t^* vale i(t)=r_2=2 e para t^*\le t\le1 vale i(t)=f(t).
Agora escrevo a expressão da infiltração total (profundidade infiltrada em \mathrm{cm}) como integral de i(t) em 0 a 1 hora, dividida nos três trechos identificados:
Já que \mathrm{e}^{-2,5t^*}=\tfrac{1}{8}, temos F(t^*)=t^*-3{,}2\cdot\tfrac{1}{8}=t^*-0{,}4.
Calculo F(1)=1-3{,}2\mathrm{e}^{-2{,}5}. Como \mathrm{e}^{-2{,}5}\approx 0{,}0820850,
Converto profundidades em volumes na área A=10\\ \mathrm{m}^2. Uma profundidade de 1\\ \mathrm{cm} sobre 1\\ \mathrm{m}^2 corresponde a 0{,}01\\ \mathrm{m}^3. Portanto sobre 10\\ \mathrm{m}^2 cada centímetro de profundidade corresponde a 0{,}1\\ \mathrm{m}^3. Assim: