A tabela acima fornece N=3 medidas do tamanho x de uma certa peça.
\mathbf{X}(\mathrm{cm}) \quad 32.8 \pm 0.5 \quad 29.3 \pm 0.5 \quad 32.2 \pm 0.5
Calcule a média, desvio-padrão, o desvio-padrão da média e a incerteza total de x.
  • Atenção: Nos itens a-d não se preocupe com arredondamentos nem algarismos significativos. Digite os valores tal qual saem da sua calculadora pelo menos até a casa dos milésimos! (P. ex., escreva 1.98235608 como 1.982 , ou 1.9823 , ou 1.98235 , etc.)
    (a) Média de x: \mathbf{R}: \bar{x}= □ cm
    (b) Desvio-padrão de x: \mathbf{R}: \sigma= □ cm
    (c) Desvio-padrão da média de x: \mathbf{R}: \sigma_{m}= □ cm
    (d) Incerteza total de x : \mathbf{R}: \sigma_{\text {tot }}= □ cm
Depois de feitos todos os cálculos, é hora de passar os resultados a limpo. Realize os arredondamentos necessários e anote abaixo os valores finais para x e sua incerteza total, que vamos passar a chamar de \Delta x.
(e) Valor de x : R: x= □ cm
(f) Incerteza total de x: \mathbf{R}: \Delta x= □ cm
\_\_\_\_

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (peguei estes números da tabela enviada).
  • Número de medidas: N=3.
  • Medidas individuais (cada uma já com incerteza do instrumento): \;x_1=32{,}8\\ \mathrm{cm},\; x_2=29{,}3\\ \mathrm{cm},\; x_3=32{,}2\\ \mathrm{cm}.
  • Incerteza do instrumento indicada para cada medida: \;u_{\text{inst}}=0{,}5\\ \mathrm{cm}.
O enunciado pede, em sequência:
(a) a média \bar{x};
(b) o desvio-padrão das medidas \sigma;
(c) o desvio-padrão da média \sigma_{m};
(d) a incerteza total \sigma_{\text{tot}} de x (ou seja, combinar as contribuições estatística e do instrumento);
(e) e (f) os valores finais arredondados de x e da incerteza total \Delta x.

Passo 2

Cálculo da média aritmética e explicação do conceito.
  • Definição: a média aritmética de N medidas x_i é
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i.
Aqui cada x_i é uma medida em centímetros e N é o número total de medidas.
  • Substituindo os valores:
\bar{x}=\frac{32{,}8+29{,}3+32{,}2}{3}=\frac{94{,}3}{3}=31{,}4333333333\\ \mathrm{cm}.
Isto é o valor médio das medidas; na prova escreva o procedimento e obtenha este número com a sua calculadora.

Passo 3

Cálculo do desvio-padrão das medidas \sigma e explicação do conceito.
  • Definição (desvio-padrão amostral, estimador não-viciado): para N medidas,
\sigma=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2}.
Explicação: cada termo (x_i-\bar{x}) é a diferença da medida à média, ao elevar ao quadrado obtemos contribuições positivas; somando e dividindo por N-1 obtemos a variância amostral; a raiz dá o desvio-padrão, que tem as mesmas unidades das medidas.
  • Calculemos as diferenças e seus quadrados (usando o \bar{x} calculado no passo anterior):
x_1-\bar{x}=32{,}8-31{,}4333333333=1{,}3666666667,\quad (x_1-\bar{x})^2=\frac{1681}{900}=1{,}8688888889.
x_2-\bar{x}=29{,}3-31{,}4333333333=-2{,}1333333333,\quad (x_2-\bar{x})^2=\frac{1024}{225}=4{,}5511111111.
x_3-\bar{x}=32{,}2-31{,}4333333333=0{,}7666666667,\quad (x_3-\bar{x})^2=\frac{529}{900}=0{,}5877777778.
  • Soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{3}(x_i-\bar{x})^2=1{,}8688888889+4{,}5511111111+0{,}5877777778=7{,}0066666667.
  • Variância amostral e desvio-padrão:
\sigma^2=\frac{7{,}0066666667}{3-1}=\frac{7{,}0066666667}{2}=3{,}50333333335,
\sigma=\sqrt{3{,}50333333335}\approx1{,}871776\\ \mathrm{cm}.
(Esse número significa a dispersão típica entre as três medidas.)

Passo 4

Cálculo do desvio-padrão da média \sigma_{m} e explicação do conceito.
  • Definição: ao se tomar a média de N medidas independentes com desvio-padrão \sigma, a incerteza estatística da média (erro padrão) é
\sigma_{m}=\frac{\sigma}{\sqrt{N}}.
Explicação: fazer mais medidas reduz a incerteza da média como 1/\sqrt{N} porque erros aleatórios se cancelam parcialmente.
  • Substituindo:
\sigma_{m}=\frac{1{,}871776}{\sqrt{3}}\approx\frac{1{,}871776}{1{,}7320508076}\approx1{,}080603\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Como tratar a incerteza do instrumento e escolher o método de combinação.
  • Interpretação do dado \pm 0{,}5\\ \mathrm{cm}: é a incerteza do instrumento associada a cada medida (vamos chamar de contribuição do tipo B). Há duas possibilidades comuns:
    1. Tratar u_{\text{inst}} como erro aleatório independente entre medidas — nesse caso, a contribuição do instrumento para a incerteza da média reduz-se com 1/\sqrt{N}, ou seja u_{\text{inst, média}}=u_{\text{inst}}/\sqrt{N}é.
    2. Tratar u_{\text{inst}} como um erro sistemático que afeta todas as medidas igualmente — nesse caso a contribuição NÃO reduz com N.
  • Aqui vou usar a escolha 1 (instrumento fornece uma incerteza aleatória equivalente para cada leitura, independente entre leituras). Justificativa: o enunciado deu \pm0{,}5 por medida; em muitos exercícios de laboratório essa incerteza é tipo-B aleatória (resolução/ruído do instrumento) e, quando se faz média de medidas independentes, sua influência sobre a média diminui como 1/\sqrt{N}. Se o professor quiser tratar como sistemática, menciono ao final como mudar o resultado.

Passo 6

Cálculo da contribuição do instrumento na média e combinação das incertezas.
  • Contribuição do instrumento na média (porque u_{\text{inst}} é independentemente presente em cada medida):
u_{\text{inst, média}}=\frac{u_{\text{inst}}}{\sqrt{N}}=\frac{0{,}5}{\sqrt{3}}\approx0{,}2886751346\\ \mathrm{cm}.é
  • Combinação das duas contribuições (estatística \sigma_{m} e instrumento na média u_{\text{inst, média}}é) por soma em quadratura (assumindo independência):
\sigma_{\text{tot}}=\sqrt{\sigma_{m}^2+u_{\text{inst, média}}^2}.é
  • Substituindo os números:
\sigma_{\text{tot}}=\sqrt{(1{,}080603)^2+(0{,}2886751346)^2} =\sqrt{\frac{1051}{900}+\frac{1}{12}}=\sqrt{\frac{563}{450}}\approx1{,}118598\\ \mathrm{cm}.
Observação alternativa (se u_{\text{inst}} fosse sistemático): então
\sigma_{\text{tot, alt}}=\sqrt{\sigma_{m}^2+u_{\text{inst}}^2}\approx\sqrt{1{,}080603^2+0{,}5^2}\approx1{,}1907\\ \mathrm{cm}.
Portanto é importante saber se 0{,}5\\ \mathrm{cm} é considerado sistemático ou aleatório; eu segui a hipótese aleatória reduzida por \sqrt{N}.

Passo 7

Arredondamentos finais e apresentação limpa dos resultados.
  • Regra prática: geralmente arredonda-se a incerteza total para 1 ou 2 algarismos significativos. Como o primeiro algarismo da incerteza é 1, é aceitável manter duas cifras significativas. Vou adotar duas cifras significativas para \Delta x.
  • Incerteza total (arredondada): \Delta x=\sigma_{\text{tot}}\approx1{,}12\\ \mathrm{cm}.
  • O valor de x deve ser arredondado de modo compatível com as casas decimais da incerteza: \Delta x=1{,}12\\ \mathrm{cm} tem duas casas decimais, logo arredondamos \bar{x} para duas casas decimais:
x=\bar{x}\approx31{,}43\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) \bar{x}=31{,}4333333333\\ \mathrm{cm}
(b) \sigma=1{,}871776\\ \mathrm{cm}
(c) \sigma_{m}=1{,}080603\\ \mathrm{cm}
(d) \sigma_{\text{tot}}=1{,}118598\\ \mathrm{cm}
(e) x=31{,}43\\ \mathrm{cm}
(f) \Delta x=1{,}12\\ \mathrm{cm}

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