Calcule a média, desvio-padrão, o desvio-padrão da média e a incerteza total de x.
Atenção: Nos itens a-d não se preocupe com arredondamentos nem algarismos significativos. Digite os valores tal qual saem da sua calculadora pelo menos até a casa dos milésimos! (P. ex., escreva 1.98235608 como 1.982 , ou 1.9823 , ou 1.98235 , etc.)
(a) Média de x: \mathbf{R}: \bar{x}= □ cm
(b) Desvio-padrão de x: \mathbf{R}: \sigma= □ cm
(c) Desvio-padrão da média de x: \mathbf{R}: \sigma_{m}= □ cm
(d) Incerteza total de x : \mathbf{R}: \sigma_{\text {tot }}= □ cm
Depois de feitos todos os cálculos, é hora de passar os resultados a limpo. Realize os arredondamentos necessários e anote abaixo os valores finais para x e sua incerteza total, que vamos passar a chamar de \Delta x.
(e) Valor de x : R: x= □ cm
(f) Incerteza total de x: \mathbf{R}: \Delta x= □ cm \_\_\_\_
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (peguei estes números da tabela enviada).
Número de medidas: N=3.
Medidas individuais (cada uma já com incerteza do instrumento): \;x_1=32{,}8\\ \mathrm{cm},\; x_2=29{,}3\\ \mathrm{cm},\; x_3=32{,}2\\ \mathrm{cm}.
Incerteza do instrumento indicada para cada medida: \;u_{\text{inst}}=0{,}5\\ \mathrm{cm}.
O enunciado pede, em sequência:
(a) a média \bar{x};
(b) o desvio-padrão das medidas \sigma;
(c) o desvio-padrão da média \sigma_{m};
(d) a incerteza total \sigma_{\text{tot}} de x (ou seja, combinar as contribuições estatística e do instrumento);
(e) e (f) os valores finais arredondados de x e da incerteza total \Delta x.
Passo 2
Cálculo da média aritmética e explicação do conceito.
Definição: a média aritmética de N medidas x_i é
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i.
Aqui cada x_i é uma medida em centímetros e N é o número total de medidas.
Explicação: cada termo (x_i-\bar{x}) é a diferença da medida à média, ao elevar ao quadrado obtemos contribuições positivas; somando e dividindo por N-1 obtemos a variância amostral; a raiz dá o desvio-padrão, que tem as mesmas unidades das medidas.
Calculemos as diferenças e seus quadrados (usando o \bar{x} calculado no passo anterior):
Como tratar a incerteza do instrumento e escolher o método de combinação.
Interpretação do dado \pm 0{,}5\\ \mathrm{cm}: é a incerteza do instrumento associada a cada medida (vamos chamar de contribuição do tipo B). Há duas possibilidades comuns:
Tratar u_{\text{inst}} como erro aleatório independente entre medidas — nesse caso, a contribuição do instrumento para a incerteza da média reduz-se com 1/\sqrt{N}, ou seja u_{\text{inst, média}}=u_{\text{inst}}/\sqrt{N}é.
Tratar u_{\text{inst}} como um erro sistemático que afeta todas as medidas igualmente — nesse caso a contribuição NÃO reduz com N.
Aqui vou usar a escolha 1 (instrumento fornece uma incerteza aleatória equivalente para cada leitura, independente entre leituras). Justificativa: o enunciado deu \pm0{,}5 por medida; em muitos exercícios de laboratório essa incerteza é tipo-B aleatória (resolução/ruído do instrumento) e, quando se faz média de medidas independentes, sua influência sobre a média diminui como 1/\sqrt{N}. Se o professor quiser tratar como sistemática, menciono ao final como mudar o resultado.
Passo 6
Cálculo da contribuição do instrumento na média e combinação das incertezas.
Contribuição do instrumento na média (porque u_{\text{inst}} é independentemente presente em cada medida):
Combinação das duas contribuições (estatística \sigma_{m} e instrumento na média u_{\text{inst, média}}é) por soma em quadratura (assumindo independência):
Portanto é importante saber se 0{,}5\\ \mathrm{cm} é considerado sistemático ou aleatório; eu segui a hipótese aleatória reduzida por \sqrt{N}.
Passo 7
Arredondamentos finais e apresentação limpa dos resultados.
Regra prática: geralmente arredonda-se a incerteza total para 1 ou 2 algarismos significativos. Como o primeiro algarismo da incerteza é 1, é aceitável manter duas cifras significativas. Vou adotar duas cifras significativas para \Delta x.
Incerteza total (arredondada): \Delta x=\sigma_{\text{tot}}\approx1{,}12\\ \mathrm{cm}.
O valor de x deve ser arredondado de modo compatível com as casas decimais da incerteza: \Delta x=1{,}12\\ \mathrm{cm} tem duas casas decimais, logo arredondamos \bar{x} para duas casas decimais: