(5pts) Determine a derivada da função
g(x)=\int_{0}^{\cos (x)} 2 \operatorname{arccos} (t)^{3}+3 \operatorname{arccos} (t)^{2} d t

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
g(x)=\int_{0}^{\cos(x)} \bigl(2\operatorname{arccos}(t)^{3}+3\operatorname{arccos}(t)^{2}\bigr)\,dt.
Informações dadas:
\text{integrando } f(t)=2\operatorname{arccos}(t)^{3}+3\operatorname{arccos}(t)^{2}, \qquad \text{limite inferior } 0 \text{ (constante)}, \qquad \text{limite superior } u(x)=\cos(x).
A pergunta é: calcular g'(x).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de forma didática): o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1) combinado com a Regra da Cadeia. Ele diz que, se
G(x)=\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt,
onde a é constante, u(x) é diferenciável e f é contínua, então
G'(x)=f\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Intuição simples: variar x muda só o limite superior u(x); a variação do integral é aproximadamente a altura f(u(x)) vezes a pequena variação do limite u'(x)\,dx. A Regra da Cadeia aparece porque o limite depende de x.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui f(t)=2\operatorname{arccos}(t)^{3}+3\operatorname{arccos}(t)^{2} e u(x)=\cos(x). Logo, por G'(x)=f(u(x))u'(x),
g'(x)=\bigl(2\operatorname{arccos}(\cos(x))^{3}+3\operatorname{arccos}(\cos(x))^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr).
Agora calculamos \dfrac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr). Lembrete: a derivada da função cosseno é
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr)=-\sin(x).
Substituindo,
g'(x)=-\sin(x)\,\bigl(2\operatorname{arccos}(\cos(x))^{3}+3\operatorname{arccos}(\cos(x))^{2}\bigr).

Passo 4

Podemos tentar simplificar \operatorname{arccos}(\cos(x)). Lembrete sobre a função \operatorname{arccos}:
\operatorname{arccos}:[-1,1]\to[0,\pi]
é a inversa do cosseno restrito a [0,\pi]. Portanto, quando x\in[0,\pi] vale a identidade
\operatorname{arccos}(\cos(x))=x.
Para x fora de [0,\pi] essa composição não simplifica para x diretamente (fica igual ao representante de x no intervalo [0,\pi] obtido por reflexão/período do cosseno). Assim, uma forma geral correta e direta da derivada é a que encontramos no passo anterior; uma forma simplificada válida quando x\in[0,\pi] é obtida substituindo \operatorname{arccos}(\cos(x))=x.

Passo 5

Escrevendo a forma geral e, em seguida, a forma simplificada válida para x\in[0,\pi]:
Forma geral (válida para todo x — sem simplificar a composição):
g'(x)=-\sin(x)\,\bigl(2\operatorname{arccos}(\cos(x))^{3}+3\operatorname{arccos}(\cos(x))^{2}\bigr).
Forma simplificada para x\in[0,\pi] (onde \operatorname{arccos}(\cos(x))=x):
g'(x)=-\sin(x)\,\bigl(2x^{3}+3x^{2}\bigr)=-x^{2}(2x+3)\sin(x).

Resposta

-\sin(x)\,\bigl(2\operatorname{arccos}(\cos(x))^{3}+3\operatorname{arccos}(\cos(x))^{2}\bigr)
-x^{2}(2x+3)\sin(x) (válido para x\in[0,\pi])

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