(5pts) Determine a derivada da função
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas:
A pergunta é: calcular
.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado de forma didática): o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1) combinado com a Regra da Cadeia. Ele diz que, se
onde
é constante,
é diferenciável e
é contínua, então
Intuição simples: variar
muda só o limite superior
; a variação do integral é aproximadamente a altura
vezes a pequena variação do limite
. A Regra da Cadeia aparece porque o limite depende de
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui
e
. Logo, por
,
Agora calculamos
. Lembrete: a derivada da função cosseno é
Substituindo,
Passo 4
Podemos tentar simplificar
. Lembrete sobre a função
:
é a inversa do cosseno restrito a
. Portanto, quando
vale a identidade
Para
fora de
essa composição não simplifica para
diretamente (fica igual ao representante de
no intervalo
obtido por reflexão/período do cosseno). Assim, uma forma geral correta e direta da derivada é a que encontramos no passo anterior; uma forma simplificada válida quando
é obtida substituindo
.
Passo 5
Escrevendo a forma geral e, em seguida, a forma simplificada válida para
:
Forma geral (válida para todo
— sem simplificar a composição):
Forma simplificada para
(onde
):