19-21 Find the local maximum and minimum values of
using both the First and Second Derivative Tests. Which method do you prefer?
21.
21.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores locais de máximo e mínimo de
usando os Testes da Primeira e da Segunda Derivada. A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O domínio de
é todos os tais que , isto é, . - Precisamos encontrar pontos críticos (onde
ou não existe) dentro do domínio e decidir, usando os dois testes, se esses pontos são máximos ou mínimos locais. - Devemos também considerar o extremo do domínio
(ponto de fronteira), pois pode ser um extremo local.
Passo 2
Vou calcular a derivada
passo a passo. Lembrete rápido: se
então
pela regra da cadeia. Aqui
e
. Assim,
Portanto a derivada de
é
Agora achamos pontos críticos resolvendo
(dentro do domínio
) e verificando onde
não existe:
- Igualando a zero:
Isolando a raiz:
Elevando ao quadrado:
Como
, este ponto está no domínio.
2. Onde não existe: a expressão de
tem divisão por
, que se anula em
. Assim
não está definida em
, mas
pertence ao domínio (é um extremo do domínio) e portanto deve ser tratado como ponto crítico para fins de extremos locais.
2. Onde
Conclusão deste passo: pontos a estudar são
(onde
) e
(ponto de fronteira onde
não existe).
Passo 3
Teste da Primeira Derivada (análise de sinal de
em vizinhanças dos pontos críticos).
Primeiro escrevo novamente a derivada para referência:
Observação: para
a raiz é positiva e a expressão faz sentido; em
a expressão explode negativamente.
- Sinal à esquerda e à direita de
.
- Escolho um ponto à esquerda, por exemplo
. Calculo
Logo
é positivo para
ligeiramente menores que
.
- Escolho um ponto entre
e , por exemplo . Calculo aproximadamente (apenas para verificar o sinal):
então
Logo
é negativo para
ligeiramente menores que
(isto é, na direita de
até
).
Como
muda de positivo para negativo ao passar por
, pelo Teste da Primeira Derivada conclui-se que
é um ponto de máximo local.
Para quantificar o valor, calculemos
:
- Análise do ponto de fronteira
.
Como visto, para
imediatamente à esquerda de
(por exemplo
) temos
, ou seja, a função está decrescendo quando se aproxima de
pela esquerda. Como não existem valores de
no domínio, olhamos apenas para a vizinhança à esquerda: se a função vem decrescendo até
, então
é menor que valores próximos à esquerda — isto caracteriza um mínimo local no extremo do domínio. Calculemos
Portanto
é um mínimo local (no sentido de ponto de fronteira) com valor
.
Resumo pelo Teste da Primeira Derivada:
- Máximo local em
com . - Mínimo local (no extremo do domínio) em
com .
Passo 4
Teste da Segunda Derivada (verificação em
).
Partimos de
. Diferenciando novamente (uso da regra da cadeia; se
então
), obtemos
Agora avalio em
:
Calculo
, então
. Assim
Como
, pelo Teste da Segunda Derivada
é um ponto de máximo local — concorda com o resultado do primeiro teste.
Observação sobre
:
diverge quando
(pois o fator
explode), logo o Teste da Segunda Derivada não é aplicável diretamente em
. Para extremos em pontos de fronteira geralmente usamos análise do sinal de
ou comparação de valores próximos.
Passo 5
Comparação dos métodos e preferência: ambos os testes confirmaram que
é máximo local com
. O ponto
é mínimo local (ponto de fronteira) com
; o Teste da Segunda Derivada não pôde ser usado nesse ponto porque
não existe ali. Pessoalmente eu prefiro o Teste da Primeira Derivada quando:
- Há que considerar pontos de fronteira do domínio, ou
- a segunda derivada é difícil de calcular ou não existe no ponto.
O Teste da Segunda Derivada é rápido e elegante quandoexiste e tem sinal claro no ponto crítico, então eu uso ele quando for aplicável como confirmação rápida, mas não confio só nele em pontos de fronteira.
Resposta
Máximo local:
com
.\nMínimo local (ponto de fronteira):
com
.