19-21 Find the local maximum and minimum values of f using both the First and Second Derivative Tests. Which method do you prefer?
21. f(x)=x+\sqrt{1-x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores locais de máximo e mínimo de f usando os Testes da Primeira e da Segunda Derivada. A função dada é
f(x)=x+\sqrt{1-x}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O domínio de f é todos os x tais que 1-x\ge 0, isto é, x\le 1.
  • Precisamos encontrar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe) dentro do domínio e decidir, usando os dois testes, se esses pontos são máximos ou mínimos locais.
  • Devemos também considerar o extremo do domínio x=1 (ponto de fronteira), pois pode ser um extremo local.

Passo 2

Vou calcular a derivada f'(x) passo a passo. Lembrete rápido: se g(x)=\sqrt{u(x)} então
\frac{d}{dx}\sqrt{u(x)}=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}},
pela regra da cadeia. Aqui u(x)=1-x e u'(x)=-1. Assim,
\frac{d}{dx}\sqrt{1-x}=\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}.
Portanto a derivada de f é
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{1-x}\bigr)=1-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}.
Agora achamos pontos críticos resolvendo f'(x)=0 (dentro do domínio x\le 1) e verificando onde f' não existe:
  1. Igualando a zero:
1-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}=0.
Isolando a raiz:
\frac{1}{2\sqrt{1-x}}=1 \quad\Rightarrow\quad 2\sqrt{1-x}=1 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{1-x}=\frac{1}{2}.
Elevando ao quadrado:
1-x=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{3}{4}.
Como \tfrac{3}{4}\le 1, este ponto está no domínio.
2. Onde f' não existe: a expressão de f' tem divisão por \sqrt{1-x}, que se anula em x=1. Assim f' não está definida em x=1, mas x=1 pertence ao domínio (é um extremo do domínio) e portanto deve ser tratado como ponto crítico para fins de extremos locais.
Conclusão deste passo: pontos a estudar são x=\tfrac{3}{4} (onde f'=0) e x=1 (ponto de fronteira onde f' não existe).

Passo 3

Teste da Primeira Derivada (análise de sinal de f' em vizinhanças dos pontos críticos).
Primeiro escrevo novamente a derivada para referência:
f'(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{1-x}},\qquad x<1.
Observação: para x<1 a raiz é positiva e a expressão faz sentido; em x=1 a expressão explode negativamente.
  1. Sinal à esquerda e à direita de x=\tfrac{3}{4}.
  • Escolho um ponto à esquerda, por exemplo x=0. Calculo
f'(0)=1-\frac{1}{2\sqrt{1-0}}=1-\frac{1}{2\cdot 1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}>0.
Logo f' é positivo para x ligeiramente menores que \tfrac{3}{4}.
  • Escolho um ponto entre \tfrac{3}{4} e 1, por exemplo x=0{,}9. Calculo aproximadamente (apenas para verificar o sinal):
\sqrt{1-0{,}9}=\sqrt{0{,}1}\approx 0{,}316,\qquad \frac{1}{2\sqrt{1-0{,}9}}\approx\frac{1}{0{,}632}\approx 1{,}58,
então
f'(0{,}9)\approx 1-1{,}58\approx -0{,}58<0.
Logo f' é negativo para x ligeiramente menores que 1 (isto é, na direita de \tfrac{3}{4} até 1).
Como f' muda de positivo para negativo ao passar por x=\tfrac{3}{4}, pelo Teste da Primeira Derivada conclui-se que x=\tfrac{3}{4} é um ponto de máximo local.
Para quantificar o valor, calculemos f\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr):
f\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)=\frac{3}{4}+\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{3}{4}+\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}.
  1. Análise do ponto de fronteira x=1.
Como visto, para x imediatamente à esquerda de 1 (por exemplo x=0{,}9) temos f'(x)<0, ou seja, a função está decrescendo quando se aproxima de x=1 pela esquerda. Como não existem valores de x>1 no domínio, olhamos apenas para a vizinhança à esquerda: se a função vem decrescendo até x=1, então f(1) é menor que valores próximos à esquerda — isto caracteriza um mínimo local no extremo do domínio. Calculemos
f(1)=1+\sqrt{1-1}=1+0=1.
Portanto x=1 é um mínimo local (no sentido de ponto de fronteira) com valor f(1)=1.
Resumo pelo Teste da Primeira Derivada:
  • Máximo local em x=\tfrac{3}{4} com f\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)=\tfrac{5}{4}.
  • Mínimo local (no extremo do domínio) em x=1 com f(1)=1.

Passo 4

Teste da Segunda Derivada (verificação em x=\tfrac{3}{4}).
Partimos de f'(x)=1-\dfrac{1}{2}(1-x)^{-1/2}. Diferenciando novamente (uso da regra da cadeia; se h(x)=(1-x)^{-1/2} então h'(x)=\tfrac{1}{2}(1-x)^{-3/2}), obtemos
f''(x)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}\bigl((1-x)^{-1/2}\bigr)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(1-x)^{-3/2}=-\frac{1}{4}(1-x)^{-3/2}.
Agora avalio em x=\tfrac{3}{4}:
f''\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)=-\frac{1}{4}\Bigl(1-\frac{3}{4}\Bigr)^{-3/2}=-\frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^{-3/2}.
Calculo \Bigl(\dfrac{1}{4}\Bigr)^{3/2}=\dfrac{1}{8}, então \Bigl(\dfrac{1}{4}\Bigr)^{-3/2}=8. Assim
f''\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)=-\frac{1}{4}\cdot 8=-2<0.
Como f''\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)<0, pelo Teste da Segunda Derivada x=\tfrac{3}{4} é um ponto de máximo local — concorda com o resultado do primeiro teste.
Observação sobre x=1: f''(x) diverge quando x\to 1^- (pois o fator (1-x)^{-3/2} explode), logo o Teste da Segunda Derivada não é aplicável diretamente em x=1. Para extremos em pontos de fronteira geralmente usamos análise do sinal de f' ou comparação de valores próximos.

Passo 5

Comparação dos métodos e preferência: ambos os testes confirmaram que x=\tfrac{3}{4} é máximo local com f=\tfrac{5}{4}. O ponto x=1 é mínimo local (ponto de fronteira) com f=1; o Teste da Segunda Derivada não pôde ser usado nesse ponto porque f'' não existe ali. Pessoalmente eu prefiro o Teste da Primeira Derivada quando:
  • Há que considerar pontos de fronteira do domínio, ou
  • a segunda derivada é difícil de calcular ou não existe no ponto.
    O Teste da Segunda Derivada é rápido e elegante quando f'' existe e tem sinal claro no ponto crítico, então eu uso ele quando for aplicável como confirmação rápida, mas não confio só nele em pontos de fronteira.

Resposta

Máximo local: x=\tfrac{3}{4} com f\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)=\tfrac{5}{4}.\nMínimo local (ponto de fronteira): x=1 com f(1)=1.

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