(a) Find the critical numbers of f(x)=x^{4}(x-1)^{3}.
(b) What does the Second Derivative Test tell you about the behavior of f at these critical numbers?
(c) What does the First Derivative Test tell you?

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre f(x)=x^{4}(x-1)^{3}:
  • (a) Encontrar os números críticos: ou seja, os valores de x onde f' é zero ou onde f' não está definida.
  • (b) Usar o Teste da Segunda Derivada para descrever o comportamento de f nesses números críticos (mínimo local, máximo local, ou teste inconclusivo).
  • (c) Usar o Teste da Primeira Derivada para descrever o comportamento de f nesses números críticos (mesma informação mas via mudança de sinal de f').
Informações dadas relevantes: a função é o polinômio f(x)=x^{4}(x-1)^{3}. Como é polinômio, f' existe para todo x. A resolução começará calculando f', localizando suas raízes (números críticos) e depois aplicando os testes.

Passo 2

Vamos calcular f'(x) passo a passo. Como f é produto de x^{4} e (x-1)^{3}, uso a regra do produto:
f(x)=x^{4}(x-1)^{3}
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)\cdot (x-1)^{3} + x^{4}\cdot \frac{d}{dx}\big((x-1)^{3}\big).
As derivadas das peças são \frac{d}{dx}(x^{4})=4x^{3} e \frac{d}{dx}\big((x-1)^{3}\big)=3(x-1)^{2}. Substituindo:
f'(x)=4x^{3}(x-1)^{3} + x^{4}\cdot 3(x-1)^{2}.
Agora fatoro fatores comuns para simplificar:
f'(x)=x^{3}(x-1)^{2}\big(4(x-1) + 3x\big).
Dentro do parêntese:
4(x-1)+3x = 4x-4+3x = 7x-4.
Portanto obtemos a forma fatorada:
f'(x)=x^{3}(x-1)^{2}(7x-4).

Passo 3

A partir de f'(x)=x^{3}(x-1)^{2}(7x-4) determinamos os números críticos (onde f'=0 ou indefinida). Aqui f' é polinomial então está definida em todo lugar; os zeros vêm dos fatores:
x^{3}=0 \Rightarrow x=0,
(x-1)^{2}=0 \Rightarrow x=1,
7x-4=0 \Rightarrow x=\frac{4}{7}.
Logo os números críticos são x=0,\; x=1,\; x=\dfrac{4}{7}. (Resposta da parte (a) já localizada.)

Passo 4

Agora aplico o Teste da Segunda Derivada. Primeiro calculo f''(x) derivando f'(x). A maneira organizada é derivar a forma fatorada usando a regra do produto para três fatores:
f'(x)=x^{3}\cdot (x-1)^{2}\cdot (7x-4).
Derivando produto de três fatores:
f''(x)=3x^{2}(x-1)^{2}(7x-4) + x^{3}\cdot 2(x-1)(7x-4) + x^{3}(x-1)^{2}\cdot 7.
Fatoremos x^{2}(x-1) para simplificar:
f''(x)=x^{2}(x-1)\Big[3(x-1)(7x-4) + 2x(7x-4) + 7x(x-1)\Big].
Agora simplifico o colchete. Calculando cada termo:
3(x-1)(7x-4)=21x^{2}-33x+12,
2x(7x-4)=14x^{2}-8x,
7x(x-1)=7x^{2}-7x.
Somando:
21x^{2}-33x+12 + 14x^{2}-8x + 7x^{2}-7x = 42x^{2}-48x+12.
Fator comum 6 dá:
42x^{2}-48x+12 = 6\big(7x^{2}-8x+2\big).
Portanto, uma forma conveniente para f'' é
f''(x)=6x^{2}(x-1)\big(7x^{2}-8x+2\big).

Passo 5

Agora avalio f'' nos números críticos para aplicar o Teste da Segunda Derivada:
  • Em x=\dfrac{4}{7}:
    Calculo o polinômio quadrático em x=\dfrac{4}{7}:
7x^{2}-8x+2 \Big|_{x=\frac{4}{7}} = 7\cdot\frac{16}{49} -8\cdot\frac{4}{7} +2 = \frac{112}{49} - \frac{32}{7} +2.
Colocando tudo sobre 49:
\frac{112}{49} - \frac{224}{49} + \frac{98}{49} = \frac{-14}{49} = -\frac{2}{7}.
Agora
f''\Big(\frac{4}{7}\Big) = 6\cdot\Big(\frac{4}{7}\Big)^{2}\cdot\Big(\frac{4}{7}-1\Big)\cdot\Big(-\frac{2}{7}\Big).
Observe que \Big(\frac{4}{7}-1\Big)=-\frac{3}{7}. Multiplicando sinais: há dois sinais negativos (um do -\frac{3}{7} e outro do -\frac{2}{7}), então o produto é positivo. Assim f''\big(\frac{4}{7}\big)>0. Pelo Teste da Segunda Derivada, se f''>0 num ponto crítico então f tem mínimo local ali. Conclusão: x=\dfrac{4}{7} é um mínimo local.
  • Em x=0:
f''(0)=6\cdot 0^{2}\cdot(0-1)\cdot(\cdots)=0.
Como f''(0)=0, o Teste da Segunda Derivada é inconclusivo em x=0.
  • Em x=1:
f''(1)=6\cdot 1^{2}\cdot(1-1)\cdot(\cdots)=0.
Também f''(1)=0, então o Teste da Segunda Derivada é inconclusivo em x=1.
Resumo do Teste da Segunda Derivada: determina mínimo local em x=\dfrac{4}{7}; é inconclusivo em x=0 e x=1.

Passo 6

Agora uso o Teste da Primeira Derivada — ou seja, analiso o sinal de f'(x)=x^{3}(x-1)^{2}(7x-4) em intervalos ao redor dos números críticos para ver se f' muda de sinal (o que indica máximos/minimos) ou não (não há extremo).
Observações úteis sobre sinais dos fatores:
  • x^{3} tem o mesmo sinal de x (negativo para x<0, zero em 0, positivo para x>0); é fator de multiplicidade ímpar (3), então ao atravessar x=0 esse fator muda de sinal.
  • (x-1)^{2} é sempre não-negativa e é positivo para x\neq 1; como é de multiplicidade par (2), ele não altera o sinal quando atravessamos x=1.
  • 7x-4 é negativo para x<\dfrac{4}{7}, zero em x=\dfrac{4}{7}, e positivo para x>\dfrac{4}{7}.
Assim o sinal de f'(x) fora dos zeros é o produto do sinal de x^{3} pelo sinal de 7x-4 (pois (x-1)^{2}>0 longe de x=1).
Faço o diagrama de sinais nos intervalos determinados pelos pontos críticos x=0,\; x=\dfrac{4}{7},\; x=1. Ordem na reta: (-\infty,0),\;(0,\dfrac{4}{7}),\;(\dfrac{4}{7},1),\;(1,\infty).
  • Para x<0: x^{3}<0 e 7x-4<0 então f'(x)>0. Logo f está crescendo à esquerda de 0.
  • Para 0<x<\dfrac{4}{7}: x^{3}>0 e 7x-4<0 então f'(x)<0. Logo f está decrescendo entre 0 e \dfrac{4}{7}.
  • Para \dfrac{4}{7}<x<1: x^{3}>0 e 7x-4>0 então f'(x)>0. Logo f está crescendo entre \dfrac{4}{7} e 1.
  • Para x>1: x^{3}>0, 7x-4>0, e (x-1)^{2}>0 então f'(x)>0. Logo f cresce também para a direita de 1.
Agora interpreto as mudanças de sinal:
  • Em x=0: f' muda de + (à esquerda) para - (à direita). Isso significa que f passa de crescente para decrescente em x=0 x=0 é um máximo local.
  • Em x=\dfrac{4}{7}: f' muda de - para + x=\dfrac{4}{7} é um mínimo local (concorda com o Teste da Segunda Derivada).
  • Em x=1: f' é + à esquerda e + à direita (não muda de sinal). Então x=1 não é nem máximo nem mínimo local. Como há uma raiz de f' de multiplicidade par em x=1 e, pela forma de f'', a concavidade troca de um lado para o outro (posso verificar que f'' muda de sinal ao atravessar 1 porque f''(x) tem o fator (x-1) e o resto é positivo em x=1), concluímos que x=1 é um ponto de inflexão horizontal (tangente horizontal mas sem extremo).

Passo 7

Resumo das conclusões (explicação curta de como aplicar os testes que você pode usar na prova):
  • Para achar números críticos: calcule f', fatorize e iguale a zero; polinômio não gera pontos onde f' é indefinida.
  • Teste da Segunda Derivada: calcule f'' e avalie nos pontos críticos; f''>0 → mínimo local, f''<0 → máximo local, f''=0 → inconclusivo (ai usa-se o Teste da Primeira Derivada ou análise de multiplicidade).
  • Teste da Primeira Derivada: faça um quadro de sinais para f' nos intervalos entre os críticos. Mudança de sinal +\to - → máximo local; -\to + → mínimo local; sem mudança → não é extremo (pode ser ponto de inflexão).

Resposta

(a) x=0,\; x=1,\; x=\dfrac{4}{7}.
(b) Pelo Teste da Segunda Derivada: x=\dfrac{4}{7} é mínimo local; em x=0 e em x=1 o teste é inconclusivo ( f''(0)=f''(1)=0).
(c) Pelo Teste da Primeira Derivada: em x=0 há máximo local ( f' muda de + para - ); em x=\dfrac{4}{7} há mínimo local ( f' muda de - para + ); em x=1 não há extremo — é um ponto de inflexão com tangente horizontal.

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