19^40 K 20^40 C a+ -1^0 e 19^40 K 18^40 Ar+ 1^0 e
(a) Considerando que as duas reações são elementares, forneça uma expressão para a lei de velocidade integrada do decaimento do potássio (DEDUÇÃO)
(b) Sabendo que o tempo de meia vida para o decaimento radioativo do potássio é 1,3 times 10^9 anos, calcule o valor da soma das constantes cinéticas para ambas as etapas: k1+k2.

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício tá pedindo. A gente tem o potássio-40 que decai em duas reações paralelas (uma dá cálcio-40, outra dá argônio-40) e cada caminho tem sua constante cinética: e .
Conteúdo: cinética de decaimento radioativo (reações elementares em paralelo).
O que vamos precisar:
  • Escrever a lei de velocidade global para um decaimento que ocorre em duas vias paralelas.
  • Integrar essa lei pra achar a concentração de potássio em função do tempo.
  • Usar a relação entre meia-vida e constante de decaimento para achar .

Passo 2

Como as duas reações são elementares e paralelas, a velocidade total de desaparecimento do potássio é a soma das velocidades individuais:
-d[K]dt = k1 [K] + k2 [K] = (k1 + k2),[K]
Isso é basicamente a regra de soma de taxas em reações paralelas. A teoria aqui é a lei de taxa para reação de primeira ordem: .

Passo 3

Agora a gente integra essa equação diferencial de primeira ordem:
-1[K] ,d[K] = (k1 + k2),dt
Integrando dos valores iniciais integral[K]0^[K](t) d[K][K] = -!(k1 + k2)!integral0^t dt Longrightarrow ln[K](t)[K]0 = -(k1 + k2),t até [K](t) = [K]0 ,expl[-(k1 + k2),tr] , e de 0 até :
Então a expressão integrada é

Passo 4

Agora, para achar t1/2 = ln 2krm total Longrightarrow k1 + k2 = ln 2t1/2 , usamos a relação da meia-vida ( k1 + k2 = 0,6931,3times10^9 anos approx 5,33times10^-10 ano^-1 ) para decaimento de primeira ordem:
Como anos, temos

Resposta

(a) Lei integrada do decaimento:
[K](t) = [K]0 ,expl[-(k1 + k2),tr]
(b) Soma das constantes cinéticas:
k1 + k2 approx 5,33times10^-10 ano^-1

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