19.66 Em um hospital, o oxigênio puro pode ser entregue a 50 psi (pressão manométrica) e depois misturado com \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}. Que volume de oxigênio a 20^{\circ} \mathrm{C} e 50 psi (pressão manométrica) deve ser misturado com 1,7 \mathrm{~kg} de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O} para obter uma mistura de 50 \% / 50 \% por volume a 20^{\circ} \mathrm{C} ? (a) 0,21 \mathrm{~m}^{3}; (b) 0,27 \mathrm{~m}^{3}; (c) 1,9 \mathrm{~m}^{3}; (d) 100 \mathrm{~m}^{3}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Massa de óxido nitroso: \,m_{\mathrm{N_2O}} = 1,7\\ \mathrm{kg}.
    • Temperatura comum para ambos os gases: \,T = 20^\circ\mathrm{C} = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Oxigênio será fornecido a pressão manométrica \,50\\ \mathrm{psi}. Ou seja, a pressão dada é pressão manométrica (gauge).
    • Queremos uma mistura que seja 50\%/50\% por volume a \,20^\circ\mathrm{C}. Isso significa que o volume de oxigênio deve ser igual ao volume ocupado pelo óxido nitroso nas mesmas condições de temperatura e pressão da mistura.
  • Pergunta que o enunciado faz:
    • Qual o volume de oxigênio, nas condições \,20^\circ\mathrm{C} e \,50\\ \mathrm{psi} (manométrica), necessário para misturar com \,1,7\\ \mathrm{kg} de \mathrm{N_2O} e obter mistura 50\%/50\% por volume?

Passo 2

Estratégia (o que vamos usar): para volumes de gases nas mesmas condições de pressão e temperatura podemos usar a Lei dos Gases Ideais. Como queremos volumes iguais, basta calcular o volume que \,1,7\\ \mathrm{kg} de \mathrm{N_2O} ocuparia nessas condições; esse será o volume de \mathrm{O_2} necessário.
Antes de aplicar a lei, converto massa em número de mols. A massa molar do \mathrm{N_2O} é aproximadamente
M_{\mathrm{N_2O}} = 44{,}013\\ \mathrm{g\!/mol} = 0{,}044013\\ \mathrm{kg\!/mol}.
O número de mols é dado por
n = \frac{m}{M}.
Substituindo os valores:
n_{\mathrm{N_2O}} = \frac{1{,}7\\ \mathrm{kg}}{0{,}044013\\ \mathrm{kg\!/mol}}.

Passo 3

Calculemos n_{\mathrm{N_2O}}. Faço a divisão com cuidado:
n_{\mathrm{N_2O}} \approx \frac{1{,}7}{0{,}044013} \approx 38{,}64\\ \mathrm{mol}.
(Explanação rápida: dividir massa pela massa molar dá a quantidade de substância em mols; usei unidades compatíveis em kg para evitar conversões.)

Passo 4

Agora usamos a Lei dos Gases Ideais. A forma é
PV = nRT,
onde:
  • \,P é a pressão absoluta (em \mathrm{Pa}),
  • \,V é o volume (em \mathrm{m}^3),
  • \,n é o número de mols,
  • \,R é a constante dos gases ideais \,R = 8{,}3145\\ \mathrm{J\!/mol\!/K},
  • \,T é a temperatura em kelvin.
Isolando V:
V = \frac{nRT}{P}.
Importante: a pressão dada é manométrica ( 50\\ \mathrm{psi}); para usar a equação precisamos da pressão absoluta. A pressão absoluta é
P_{\mathrm{abs}} = P_{\mathrm{gauge}} + P_{\mathrm{atm}}.
Aqui \,P_{\mathrm{gauge}} = 50\\ \mathrm{psi} e \,P_{\mathrm{atm}} \approx 14{,}7\\ \mathrm{psi}. Logo
P_{\mathrm{abs}} = 50 + 14{,}7 = 64{,}7\\ \mathrm{psi}.
Converto \mathrm{psi} para \mathrm{Pa} usando 1\\ \mathrm{psi} = 6894{,}76\\ \mathrm{Pa}:
P = 64{,}7\times 6894{,}76\\ \mathrm{Pa} \approx 445{.}963\\ \mathrm{Pa}\times 10^{0} = 4{,}45963\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Agora calculo o volume ocupado por \mathrm{N_2O} (nas mesmas \,T e P), usando \,n_{\mathrm{N_2O}} do Passo 3, \,R e \,P do Passo 4:
V_{\mathrm{N_2O}} = \frac{n_{\mathrm{N_2O}} R T}{P}.
Substituindo números:
V_{\mathrm{N_2O}} \approx \frac{38{,}64 \times 8{,}3145 \times 293{,}15}{4{,}45963\times 10^{5}}\\ \mathrm{m}^3.
Faço os cálculos em partes:
38{,}64 \times 8{,}3145 \approx 321{,}27,
321{,}27 \times 293{,}15 \approx 94{.}180\\ (\text{unidade: J}).
Dividindo pela pressão:
V_{\mathrm{N_2O}} \approx \frac{94{.}180}{445{.}963} \approx 0{,}211\\ \mathrm{m}^3.
Arredondando de forma compatível com as alternativas, obtemos
V_{\mathrm{N_2O}} \approx 0{,}21\\ \mathrm{m}^3.

Passo 6

Interpretação final e resposta à pergunta: como a mistura deve ser 50\%/50\% por volume nas mesmas condições de T e P, o volume de oxigênio necessário é igual ao volume que o \mathrm{N_2O} ocupa nessas condições. Portanto o volume de \mathrm{O_2} a 20^\circ\mathrm{C} e 50\\ \mathrm{psi} (manométrica) é
V_{\mathrm{O_2}} = V_{\mathrm{N_2O}} \approx 0{,}21\\ \mathrm{m}^3.
Força aí — deu trabalho, mas a ideia central foi: converter massa em mols, usar a lei dos gases ideais e lembrar de passar da pressão manométrica para a absoluta.

Resposta

\,0{,}21\\ \mathrm{m}^3

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