19.65 Você tem um cilindro que contém 500 L da mistura de gás pressurizada a 2.000 psi (pressão manométrica). Um regulador define o fluxo de gás para entregar 8,2 \mathrm{~L} / \mathrm{min} na pressão atmosférica. Suponha que esse fluxo seja lento o suficiente para que a expansão seja isotérmica e os gases permaneçam misturados. Quanto tempo levará para que o cilindro seja esvaziado? (a) 1 hora; (b) 33 horas; (c) 57 horas; (d) 140 horas.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e faz a pergunta abaixo (peguei todos os números do enunciado):
  • Volume do cilindro: V_{\text{cil}} = 500\\ \text{L}.
  • Pressão manométrica no cilindro: P_{\text{gauge}} = 2000\\ \text{psi}. (Isso é pressão relativa à atmosfera.)
  • Regulador entrega fluxo volumétrico à pressão atmosférica: Q = 8{,}2\\ \text{L/min} (medido na pressão ambiente).
  • Suposição: processo lento e isotérmico, gases permanecem misturados.
Pergunta: Quanto tempo levará até o cilindro esvaziar? (escolher entre (a) 1 h; (b) 33 h; (c) 57 h; (d) 140 h)

Passo 2

Ideia física e fórmula a usar (explicadinha passo a passo):
  • Para um processo isotérmico com gás ideal, a equação de estado é \,P V = n R T\,. Se a temperatura T é constante, o número de mols n é proporcional a P V. Ou seja, a quantidade de gás no cilindro é proporcional à pressão absoluta vezes o volume.
  • O número de mols que sai por unidade de tempo é proporcional à pressão onde o gás sai vezes o volume por unidade de tempo. Como o fluxo é entregue à pressão atmosférica, o número de mols por minuto que sai é proporcional a P_{\text{atm}}\cdot Q, onde Q é o fluxo volumétrico à pressão atmosférica.
  • Portanto o tempo total para esvaziar é a razão entre a quantidade inicial de gás (proporcional a P_{\text{inicial}}\cdot V_{\text{cil}}) e a taxa de saída (proporcional a P_{\text{atm}}\cdot Q). Cancelando as constantes de proporcionalidade obtemos a fórmula simples:
t \;=\; \frac{P_{\text{inicial}}\,V_{\text{cil}}}{P_{\text{atm}}\,Q}.
Aqui:
  • P_{\text{inicial}} é a pressão absoluta inicial no cilindro;
  • P_{\text{atm}} é a pressão atmosférica;
  • V_{\text{cil}} é em litros e Q em litros por minuto, então t sai em minutos.

Passo 3

Converter pressão manométrica em pressão absoluta:
Pressão manométrica \,P_{\text{gauge}}=2000\\ \text{psi} significa que a pressão absoluta é
P_{\text{inicial}} = P_{\text{atm}} + P_{\text{gauge}}.
Usamos a aproximação P_{\text{atm}} \approx 14{,}7\\ \text{psi}. Então
P_{\text{inicial}} = 14{,}7 + 2000 = 2014{,}7\\ \text{psi}.
O fator de multiplicação (relação entre pressão inicial e pressão atmosférica) é
\frac{P_{\text{inicial}}}{P_{\text{atm}}} = \frac{2014{,}7}{14{,}7} \approx 137{,}0544.

Passo 4

Calcular o tempo usando a fórmula e os números dados.
Primeiro calculemos \dfrac{V_{\text{cil}}}{Q} (tempo que levaria para liberar V_{\text{cil}} se a pressão interna fosse igual à atmosférica):
\frac{V_{\text{cil}}}{Q} = \frac{500}{8{,}2} \approx 60{,}9756\\ \text{min}.
Agora multiplica-se pelo fator de pressões:
t = \frac{P_{\text{inicial}}}{P_{\text{atm}}}\cdot\frac{V_{\text{cil}}}{Q} \approx 137{,}0544 \times 60{,}9756 \approx 8356{,}98\\ \text{min}.

Passo 5

Converter minutos para horas e arredondar para comparar com as alternativas:
t \approx \frac{8356{,}98}{60} \approx 139{,}28\\ \text{h}.
Arredondando para o valor mais próximo nas opções dadas, isso corresponde à alternativa próxima de 140 horas.

Resposta

(d)

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