Um corpo de massa 1 kg que se move sobre o eixo x está sujeito a uma força dada por F(x)=2 x-2, onde x é dado em metros e F em Newtons.
Determine:
a) a energia potencial U em função de x, considerando U(0)=0;
b) o ponto de equilíbrio;
c) trata-se de um ponto de equilíbrio estável ou instável ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Massa do corpo: 1\\ \text{kg}.
    • Força aplicada ao longo do eixo x: F(x)=2x-2, onde x está em metros e F em Newtons.
  • Perguntas:
    a) Determinar a energia potencial U em função de x, considerando U(0)=0.
    b) Determinar o ponto de equilíbrio.
    c) Dizer se esse ponto de equilíbrio é estável ou instável.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (aula rápida e intuitiva):
  • Para uma força conservativa unidimensional F(x) existe uma energia potencial U(x) tal que
F(x) = -\frac{dU}{dx}.
Isso significa que a força é igual à inclinação negativa do gráfico de U(x): onde U sobe (tende a aumentar com x) a força puxa para a esquerda, e onde U desce a força puxa para a direita. A unidade de U é Joule ( \text{J}).
  • Para obter U(x) a partir de F(x) integramos a relação acima com sinal trocado:
\frac{dU}{dx} = -F(x).
Depois integra-se em x e ajusta-se a constante de integração usando a condição dada (aqui U(0)=0).
Vou aplicar isso ao caso dado.

Passo 3

Calcular \dfrac{dU}{dx} a partir de F(x).
Temos F(x)=2x-2. Pela relação \dfrac{dU}{dx}=-F(x) segue:
\frac{dU}{dx} = -(2x-2) = -2x+2.
Agora integramos essa expressão em relação a x para obter U(x). Integração passo a passo:
U(x) = \int (-2x+2)\,dx.
Integrando termo a termo:
\int -2x\,dx = -2\cdot\frac{x^2}{2} = -x^2, \qquad \int 2\,dx = 2x.
Portanto, a primitiva geral é
U(x) = -x^2 + 2x + C,
onde C é a constante de integração (em Joules).

Passo 4

Determinar a constante C usando a condição U(0)=0.
Substituindo x=0 em U(x):
U(0) = -0^2 + 2\cdot 0 + C = C.
Como U(0)=0, temos C=0. Logo a energia potencial é
U(x) = -x^2 + 2x.
É útil também escrever U na forma do vértice para entender o formato:
U(x) = -\bigl(x^2 - 2x\bigr) = -\bigl((x-1)^2 - 1\bigr) = - (x-1)^2 + 1.
Essa forma mostra que U(x) é uma parábola invertida (concavidade para baixo) com máximo em x=1 e valor máximo U(1)=1\\ \text{J}.

Passo 5

Determinar o ponto de equilíbrio.
Definição prática: ponto de equilíbrio é um ponto x_e tal que a força é zero ali, ou seja F(x_e)=0. Resolvo:
F(x)=2x-2=0 \quad\Rightarrow\quad 2x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Portanto o ponto de equilíbrio é x=1 (metros).

Passo 6

Classificar estabilidade (duas maneiras, explicadas e aplicadas).
Método 1 — usando a curvatura da energia potencial:
  • Se em x_e a segunda derivada \dfrac{d^2U}{dx^2} for positiva, U tem mínimo local ali → equilíbrio estável (pequenas perturbações geram forças restauradoras).
  • Se \dfrac{d^2U}{dx^2} for negativa, U tem máximo local → equilíbrio instável (pequenas perturbações crescem).
Calculemos \dfrac{d^2U}{dx^2}. Já tínhamos \dfrac{dU}{dx}=-2x+2. Derivando novamente:
\frac{d^2U}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-2x+2) = -2.
Esse valor é constante e igual a -2. Em particular, em x=1 temos \dfrac{d^2U}{dx^2}\big|_{x=1}=-2<0, logo U tem um máximo em x=1 e o ponto de equilíbrio é instável.
Método 2 — (intuição dinâmica) linearização da equação do movimento:
A equação de movimento é m\ddot x = F(x). Aproximando perto de x_e com x=x_e+\eta e pequena \eta,
m\ddot\eta \approx F'(x_e)\,\eta.
Se F'(x_e)<0 então m\ddot\eta é proporcional a -\eta e o movimento é oscilatório (estável); se F'(x_e)>0 temos crescimento exponencial (instável). Aqui F'(x)=\dfrac{dF}{dx}=2, então F'(1)=2>0, o que confirma instabilidade. Ambos os métodos concordam.

Passo 7

Interpretação física simples e encorajamento:
  • A energia potencial U(x)=-x^2+2x tem um máximo em x=1. Isso significa que, se o corpo estiver exatamente em x=1 e sofrer uma pequena perturbação, a força resultante fará com que ele se afaste ainda mais de x=1 (como se estivesse sentado no topo de uma colina). Por isso o equilíbrio é instável.
  • Boa notícia: os cálculos são curtos e diretos — com prática esses passos ficam naturais.

Resposta

a) U(x) = -x^{2} + 2x (J)
b) x = 1 (m)
c) Instável

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