Um corpo de massa 1 kg que se move sobre o eixo x está sujeito a uma força dada por F(x)=2 x-2, onde x é dado em metros e F em Newtons.
Determine:
a) a energia potencial U em função de x, considerando U(0)=0;
b) o ponto de equilíbrio;
c) trata-se de um ponto de equilíbrio estável ou instável ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
Massa do corpo: 1\\ \text{kg}.
Força aplicada ao longo do eixo x: F(x)=2x-2, onde x está em metros e F em Newtons.
Perguntas:
a) Determinar a energia potencial U em função de x, considerando U(0)=0.
b) Determinar o ponto de equilíbrio.
c) Dizer se esse ponto de equilíbrio é estável ou instável.
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (aula rápida e intuitiva):
Para uma força conservativa unidimensional F(x) existe uma energia potencial U(x) tal que
F(x) = -\frac{dU}{dx}.
Isso significa que a força é igual à inclinação negativa do gráfico de U(x): onde U sobe (tende a aumentar com x) a força puxa para a esquerda, e onde U desce a força puxa para a direita. A unidade de U é Joule (\text{J}).
Para obter U(x) a partir de F(x) integramos a relação acima com sinal trocado:
\frac{dU}{dx} = -F(x).
Depois integra-se em x e ajusta-se a constante de integração usando a condição dada (aqui U(0)=0).
Vou aplicar isso ao caso dado.
Passo 3
Calcular \dfrac{dU}{dx} a partir de F(x).
Temos F(x)=2x-2. Pela relação \dfrac{dU}{dx}=-F(x) segue:
\frac{dU}{dx} = -(2x-2) = -2x+2.
Agora integramos essa expressão em relação a x para obter U(x). Integração passo a passo:
Classificar estabilidade (duas maneiras, explicadas e aplicadas).
Método 1 — usando a curvatura da energia potencial:
Se em x_e a segunda derivada \dfrac{d^2U}{dx^2} for positiva, U tem mínimo local ali → equilíbrio estável (pequenas perturbações geram forças restauradoras).
Se \dfrac{d^2U}{dx^2} for negativa, U tem máximo local → equilíbrio instável (pequenas perturbações crescem).
Calculemos \dfrac{d^2U}{dx^2}. Já tínhamos \dfrac{dU}{dx}=-2x+2. Derivando novamente:
\frac{d^2U}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-2x+2) = -2.
Esse valor é constante e igual a -2. Em particular, em x=1 temos \dfrac{d^2U}{dx^2}\big|_{x=1}=-2<0, logo U tem um máximo em x=1 e o ponto de equilíbrio é instável.
Método 2 — (intuição dinâmica) linearização da equação do movimento:
A equação de movimento é m\ddot x = F(x). Aproximando perto de x_e com x=x_e+\eta e pequena \eta,
m\ddot\eta \approx F'(x_e)\,\eta.
Se F'(x_e)<0 então m\ddot\eta é proporcional a -\eta e o movimento é oscilatório (estável); se F'(x_e)>0 temos crescimento exponencial (instável). Aqui F'(x)=\dfrac{dF}{dx}=2, então F'(1)=2>0, o que confirma instabilidade. Ambos os métodos concordam.
Passo 7
Interpretação física simples e encorajamento:
A energia potencial U(x)=-x^2+2x tem um máximo em x=1. Isso significa que, se o corpo estiver exatamente em x=1 e sofrer uma pequena perturbação, a força resultante fará com que ele se afaste ainda mais de x=1 (como se estivesse sentado no topo de uma colina). Por isso o equilíbrio é instável.
Boa notícia: os cálculos são curtos e diretos — com prática esses passos ficam naturais.