Considere uma casca esférica não condutora, cujos raios interno e externo são, respectivamente,
e
. A densidade de carga é dada por
é uma constante. Calcule o campo elétrico
para:
)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o campo elétrico
na região
de uma casca esférica não condutora com:
- raio interno
e raio externo ; - densidade de carga dada por
, onde é constante.
Observação/assunção (esclarecendo o enunciado): vou interpretar
como densidade volumétrica de carga, isto é,
, válida para
. O objetivo é obter
para
. Como
inclui os casos
(ponto dentro do material da casca) e
(fora da casca), apresentarei a solução para esses dois intervalos.
Passo 2
Intuição física e escolha do método (explicando a ferramenta que vamos usar):
A casca é esférica e a densidade depende só de , logo o problema tem simetria esférica. Isso implica que o campo elétrico em qualquer ponto depende apenas da distância radial
e aponta na direção radial. Nessa situação a forma mais simples e direta é aplicar a Lei de Gauss.
A casca é esférica e a densidade depende só de
Apresento a Lei de Gauss (em forma integral) e o que cada termo significa:
Aqui
é uma superfície fechada (escolhemos uma esfera de raio
),
é o campo na superfície,
é o elemento de área,
é a carga total dentro da superfície e
é a permissividade do vácuo. Para uma superfície esférica concêntrica com a casca,
é radial e constante em magnitude sobre a superfície, então a integral fica simples:
Daí obteremos
. Nossa tarefa reduz-se a calcular
, a carga contida no interior da esfera de raio
.
Passo 3
Cálculo do elemento de carga e simplificação por simetria:
A densidade volumétrica é , onde uso
como variável de integração para não confundir com o
onde avaliamos o campo. O elemento de volume em coordenadas esféricas é
A densidade volumétrica é
Integrando sobre todos os ângulos (superfície inteira da esfera), obtemos
logo o elemento de carga radial (após integrar os ângulos) é
Observe a beleza da conta: o
do
cancela o
da densidade, deixando uma expressão muito simples em
.
Passo 4
Carga contida para
(caso ponto dentro da matéria da casca):
Se estamos em um ponto com , a superfície gaussiana de raio
engloba toda a cavidade interna
(sem carga) e o material da casca desde
até
. Assim a carga interna é a integral de
de
até
:
Se estamos em um ponto com
Expliquei passo a passo: integro
em
, o que é trivial e dá
.
Passo 5
Campo para
usando a Lei de Gauss:
Aplicando
Aplicando
temos
Direção: o vetor campo é radial. Em notação vetorial:
onde
é o versor radial (aponta para fora). Se
, o campo aponta para fora; se
, aponta para dentro.
Passo 6
Carga contida para
(caso ponto fora da casca):
Para a superfície gaussiana engloba toda a casca, então integramos
de
até
:
Para
Passo 7
Campo para
usando a Lei de Gauss:
Da Lei de Gauss,
Da Lei de Gauss,
logo
Em notação vetorial:
Passo 8
Observações finais e continuidade:
- Em
as duas fórmulas coincidem, portanto o campo é contínuo aí. - Se interessar (só para completar a intuição), no interior da cavidade
não há carga envolvida pela superfície gaussiana, então para . - Resumindo: dentro da casca (entre
e ) o campo cresce com através do termo ; fora da casca ele decai como com intensidade proporcional à carga total .