Considere uma casca esférica não condutora, cujos raios interno e externo são, respectivamente, a e b. A densidade de carga é dada por \lambda(r)=\frac{C}{r^{2}}\, onde \(C é uma constante. Calcule o campo elétrico \vec{E}(r) para:
r>a)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o campo elétrico \vec{E}(r) na região r>a de uma casca esférica não condutora com:
  • raio interno a e raio externo b;
  • densidade de carga dada por \lambda(r)=\dfrac{C}{r^{2}}, onde C é constante.
Observação/assunção (esclarecendo o enunciado): vou interpretar \lambda(r) como densidade volumétrica de carga, isto é, \rho(r)=\dfrac{C}{r^{2}}, válida para a\le r\le b. O objetivo é obter \vec{E}(r) para r>a. Como r>a inclui os casos a<r<b (ponto dentro do material da casca) e r\ge b (fora da casca), apresentarei a solução para esses dois intervalos.

Passo 2

Intuição física e escolha do método (explicando a ferramenta que vamos usar):
A casca é esférica e a densidade depende só de r, logo o problema tem simetria esférica. Isso implica que o campo elétrico em qualquer ponto depende apenas da distância radial r e aponta na direção radial. Nessa situação a forma mais simples e direta é aplicar a Lei de Gauss.
Apresento a Lei de Gauss (em forma integral) e o que cada termo significa:
\oint_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui \mathcal{S} é uma superfície fechada (escolhemos uma esfera de raio r), \vec{E} é o campo na superfície, d\vec{A} é o elemento de área, Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Para uma superfície esférica concêntrica com a casca, \vec{E} é radial e constante em magnitude sobre a superfície, então a integral fica simples:
E(r)\cdot 4\pi r^{2} = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}}.
Daí obteremos E(r)=\dfrac{Q_{\text{int}}(r)}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}. Nossa tarefa reduz-se a calcular Q_{\text{int}}(r), a carga contida no interior da esfera de raio r.

Passo 3

Cálculo do elemento de carga e simplificação por simetria:
A densidade volumétrica é \rho(r')=\dfrac{C}{r'^{2}}, onde uso r' como variável de integração para não confundir com o r onde avaliamos o campo. O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = r'^{2}\sin\theta\,dr'\,d\theta\,d\varphi.
Integrando sobre todos os ângulos (superfície inteira da esfera), obtemos
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} r'^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi = 4\pi r'^{2},
logo o elemento de carga radial (após integrar os ângulos) é
dq = \rho(r')\,dV = \frac{C}{r'^{2}}\cdot 4\pi r'^{2}\,dr' = 4\pi C\,dr'.
Observe a beleza da conta: o r'^{2} do dV cancela o 1/r'^{2} da densidade, deixando uma expressão muito simples em dr'.

Passo 4

Carga contida para a<r<b (caso ponto dentro da matéria da casca):
Se estamos em um ponto com a<r<b, a superfície gaussiana de raio r engloba toda a cavidade interna r'<a (sem carga) e o material da casca desde r'=a até r'=r. Assim a carga interna é a integral de dq de r'=a até r'=r:
Q_{\text{int}}(r)=\int_{a}^{r} 4\pi C\,dr' = 4\pi C (r-a).
Expliquei passo a passo: integro 4\pi C em dr', o que é trivial e dá 4\pi C(r-a).

Passo 5

Campo para a<r<b usando a Lei de Gauss:
Aplicando
E(r)\cdot 4\pi r^{2} = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}} = \frac{4\pi C (r-a)}{\varepsilon_{0}},
temos
E(r) = \frac{4\pi C (r-a)}{4\pi \varepsilon_{0} r^{2}} = \frac{C(r-a)}{\varepsilon_{0}\, r^{2}}.
Direção: o vetor campo é radial. Em notação vetorial:
\vec{E}(r)=\frac{C(r-a)}{\varepsilon_{0}\, r^{2}}\,\hat{r}\qquad\text{para }a<r<b,
onde \hat{r} é o versor radial (aponta para fora). Se C>0, o campo aponta para fora; se C<0, aponta para dentro.

Passo 6

Carga contida para r\ge b (caso ponto fora da casca):
Para r\ge b a superfície gaussiana engloba toda a casca, então integramos dq de r'=a até r'=b:
Q_{\text{int}} = \int_{a}^{b} 4\pi C\,dr' = 4\pi C (b-a).

Passo 7

Campo para r\ge b usando a Lei de Gauss:
Da Lei de Gauss,
E(r)\cdot 4\pi r^{2} = \frac{4\pi C (b-a)}{\varepsilon_{0}},
logo
E(r) = \frac{4\pi C (b-a)}{4\pi \varepsilon_{0}\, r^{2}} = \frac{C(b-a)}{\varepsilon_{0}\, r^{2}}.
Em notação vetorial:
\vec{E}(r)=\frac{C(b-a)}{\varepsilon_{0}\, r^{2}}\,\hat{r}\qquad\text{para }r\ge b.

Passo 8

Observações finais e continuidade:
  • Em r=b as duas fórmulas coincidem, portanto o campo é contínuo aí.
  • Se interessar (só para completar a intuição), no interior da cavidade r<a não há carga envolvida pela superfície gaussiana, então \vec{E}=0 para r<a.
  • Resumindo: dentro da casca (entre a e b) o campo cresce com r através do termo (r-a)/r^{2}; fora da casca ele decai como 1/r^{2} com intensidade proporcional à carga total 4\pi C(b-a).

Resposta

\displaystyle \vec{E}(r)=\frac{C(r-a)}{\varepsilon_{0}\,r^{2}}\,\hat{r}\quad\text{para }a<r<b
\displaystyle \vec{E}(r)=\frac{C(b-a)}{\varepsilon_{0}\,r^{2}}\,\hat{r}\quad\text{para }r\ge b

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