Um homem de 75 kg empurra a caixa de 150 kg com uma força horizontal \mathbf{F}. Se os coeficientes de atrito estático e cinético entre a caixa e a superfície são \mu_{s}=0,3 e \mu_{k}=0,2, e o coeficiente de atrito estático entre os sapatos do homem e a superfície é \mu_{s}=0,8, mostre que o homem consegue mover a caixa. Qual é a maior aceleração que o homem pode dar à caixa?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que o homem consegue mover a caixa e (2) encontrar a maior aceleração que o homem pode dar à caixa.
As informações fornecidas são:
\;m_{\text{homem}}=75\\ \mathrm{kg}
\;m_{\text{caixa}}=150\\ \mathrm{kg}
\;\mu_{s,\text{caixa}}=0,3 (coeficiente de atrito estático entre caixa e superfície)
\;\mu_{k,\text{caixa}}=0,2 (coeficiente de atrito cinético entre caixa e superfície)
\;\mu_{s,\text{sapatos}}=0,8 (coeficiente de atrito estático entre sapatos do homem e a superfície)
Adote g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Nada mais será assumido além do enunciado. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Atrito estático máximo: \;f_{s,\max}=\mu_s N. Aqui \mu_s é o coeficiente de atrito estático e N é a força normal (a força perpendicular à superfície que a superfície exerce sobre o objeto). O atrito estático ajusta-se até esse máximo para impedir o deslizamento.
  • Atrito cinético (quando já está deslizando): \;f_k=\mu_k N. Aqui \mu_k é o coeficiente de atrito cinético; é (normalmente) menor que \mu_s.
  • Em uma superfície horizontal sem outras forças verticais, a normal é igual ao peso: \;N=m g, onde m é a massa do corpo e g é a aceleração da gravidade.
    Aplicando esses conceitos: o homem só consegue exercer sobre a caixa uma força horizontal F tão grande quanto permite o atrito entre seus sapatos e o chão sem que ele escorregue; o máximo dessa força é \;F_{\max,\text{homem}}=\mu_{s,\text{sapatos}}\,m_{\text{homem}}\,g. Para iniciar o movimento da caixa, essa força deve superar o atrito estático máximo da caixa \;f_{s,\text{caixa, max}}=\mu_{s,\text{caixa}}\,m_{\text{caixa}}\,g. Depois que a caixa começa a se mover, o atrito sobre a caixa passa a ser o atrito cinético \;f_{k,\text{caixa}}=\mu_{k,\text{caixa}}\,m_{\text{caixa}}\,g.

Passo 3

Calcular o máximo que o homem pode empurrar sem escorregar (uso da fórmula do atrito estático entre sapatos e chão):
F_{\max,\text{homem}}=\mu_{s,\text{sapatos}}\,m_{\text{homem}}\,g
Substituindo os valores:
F_{\max,\text{homem}}=0,8\times 75\times 9,8.
Faço a conta em etapas: 75\times 9,8=735 e 0,8\times 735=588. Logo
F_{\max,\text{homem}}=588\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Calcular o atrito estático máximo que a caixa precisa vencer para começar a se mover:
f_{s,\text{caixa, max}}=\mu_{s,\text{caixa}}\,m_{\text{caixa}}\,g
Substituindo:
f_{s,\text{caixa, max}}=0,3\times 150\times 9,8.
Faço a conta: 150\times 9,8=1470 e 0,3\times 1470=441. Logo
f_{s,\text{caixa, max}}=441\\ \mathrm{N}.
Comparando: \;F_{\max,\text{homem}}=588\\ \mathrm{N} e \;f_{s,\text{caixa, max}}=441\\ \mathrm{N}. Como 588>441, o homem pode aplicar força suficiente para superar o atrito estático da caixa e, portanto, consegue mover a caixa. (Isto significa que existe uma força F\le 588\\ \mathrm{N} que vence o atrito estático da caixa.)

Passo 5

Agora que a caixa está em movimento, o atrito que age sobre ela é o atrito cinético. Calculo essa força e a aceleração máxima possível quando o homem empurra com sua força máxima sem escorregar:
Atrito cinético na caixa:
f_{k,\text{caixa}}=\mu_{k,\text{caixa}}\,m_{\text{caixa}}\,g=0,2\times 150\times 9,8.
Conta: 150\times 9,8=1470 e 0,2\times 1470=294. Então
f_{k,\text{caixa}}=294\\ \mathrm{N}.
Se o homem empurra com F=F_{\max,\text{homem}}=588\\ \mathrm{N}, a força resultante (líquida) sobre a caixa é
F_{\text{líquida}}=F_{\max,\text{homem}}-f_{k,\text{caixa}}=588-294=294\\ \mathrm{N}.í
Pela segunda lei de Newton, a aceleração da caixa é
a=\frac{F_{\text{líquida}}}{m_{\text{caixa}}}=\frac{294}{150}.í
Faço a simplificação: 294/150=(294\div 6)/(150\div 6)=49/25=1,96. Portanto
a=1,96\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação: esta é a maior aceleração que a caixa pode ter enquanto o homem empurra sem escorregar; se ele tentar empurrar mais forte seus pés começariam a deslizar.

Resposta

Sim — o homem consegue mover a caixa.
A maior aceleração que ele pode dar à caixa é \;1,96\\ \mathrm{m/s^{2}}.

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