2.19 cengel. Um eixo com 10 cm de diâmetro gira dentro de um mancal com
de diâmetro e 40 cm de comprimento. O espaço entre o mancal e o eixo está preenchido com óleo cujo a viscosidade na temperatura de operação é
. Calcule a potência necessária para vencer o atrito quando o eixo gira a 600 rpm
Passo 1
O problema pede: calcular a potência necessária para vencer o atrito viscoso entre um eixo cilíndrico e o mancal, quando o eixo gira a
.
Dados fornecidos (peguei esses números do enunciado / figura):
Dados fornecidos (peguei esses números do enunciado / figura):
- diâmetro do eixo:
- diâmetro do mancal:
- comprimento do mancal:
- viscosidade do óleo:
- velocidade de rotação:
Objetivo explícito: encontrar a potência
(em watts) dissipada pelo atrito viscoso.
Passo 2
Vamos transformar os dados em grandezas no SI e definir notação útil. (Tudo em notação matemática):
A velocidade de rotação em revoluções por segundo e a velocidade angular:
Passo 3
Entendendo o mecanismo físico e a aproximação a usar (aula rápida e intuitiva).
Quando o espaço entre eixo e mancal é muito pequeno comparado ao raio ( ), o escoamento do óleo na região entre os cilindros pode ser aproximado como escoamento de cisalhamento simples (plano): a velocidade tangencial varia praticamente de
na superfície do eixo até
na superfície do mancal, com variação quase linear no gap. Nessa aproximação a taxa de deformação (taxa de cisalhamento) é aproximadamente
. A tensão de cisalhamento é dada pela lei de Newton para fluidos newtonianos:
Quando o espaço entre eixo e mancal é muito pequeno comparado ao raio (
Explicando cada símbolo:
-
é a tensão de cisalhamento (em ). -
é a viscosidade dinâmica (em ). -
é a velocidade angular (em ). -
é o raio do eixo (em ). -
é a espessura do filme de óleo (em ).
Passo 4
A partir da tensão de cisalhamento calculamos o torque viscoso. A força tangencial sobre a superfície cilíndrica interna é
, onde a área lateral do eixo é
. O torque associado a essa força é
. Assim:
Substituindo
obtemos a fórmula do torque:
Explicando: o fator
é a área lateral do cilindro interno, multiplicada por
dá o momento (torque) produzido por essa tensão distribuída.
Passo 5
A potência dissipada pelo atrito viscoso é o produto do torque pela velocidade angular:
Também poderíamos escrever em função de
usando
, mas aqui vamos calcular numericamente usando
já obtido.
Passo 6
Substituímos os valores numéricos (cada número dentro de ambiente matemático):
Agora calculamos passo a passo. Primeiro
:
Em seguida calculamos o numerador de
:
Calculemos
:
Agora o produto numérico:
Vamos simplificar em etapas (valores aproximados):
(Observação: os arredondamentos intermediários acima são para mostrar o procedimento; a conta direta dá o mesmo resultado com precisão). Entretanto atenção: esse valor obtido parece pequeno porque o fator de escala foi reduzido; vamos recomputar diretamente usando a forma
para confirmar consistência.
Passo 7
Cálculo alternativo via torque
e depois
(mais estável numericamente). Primeiro torque:
Substituindo:
Calcule o numerador interior:
Agora divida por
:
Multiplique por
:
Então
Agora a potência:
Esse valor confirma que o cálculo direto da fórmula de
(Passo 6) teve arredondamentos intermediários pouco claros; o resultado correto é aproximadamente
.
Passo 8
Interpretação rápida e verificação de ordem de grandeza: potência de algumas centenas de watts para um eixo curto e viscosidade relativamente alta é razoável. A aproximação de gap fino (
) é válida aqui porque
e
(
, pequeno).