Uma placa com peso desprezível fecha um furo com 305 mm de diâmetro localizado na superficie superior de um tanque que contém ar e água. Um bloco de concreto,
volume de
está suspenso na placa e permanece completamente imerso na água. Note que a leitura diferencial no manômetro inclinado de mercúrio aumenta quando a pressão no ar aumenta. Calcule o valor dessa leitura no instante em que a placa começa a levantar do furo. Admita que a presença do ar no tanque não influi sobre a leitura no manômetro.
Passo 1
O enunciado pede a leitura do manômetro inclinado no instante em que a placa começa a levantar do furo.
Informações dadas (explicitamente listadas):
Informações dadas (explicitamente listadas):
A placa tem peso desprezível e está presa ao bloco (o bloco fica totalmente imerso). O manômetro é de mercúrio e é inclinado; o enunciado diz que a leitura aumenta quando a pressão do ar aumenta (ou seja, o manômetro registra a diferença de pressão entre o ar do tanque e a atmosfera).
Observação importante (informação que falta): para transformar a diferença de pressão calculada em “leitura do manômetro inclinado” (comprimento ao longo do tubo inclinado) é necessário conhecer o ângulo de inclinação do manômetro ou a escala do tubo. Essa informação não foi fornecida no enunciado que você mandou.
Observação importante (informação que falta): para transformar a diferença de pressão calculada em “leitura do manômetro inclinado” (comprimento ao longo do tubo inclinado) é necessário conhecer o ângulo de inclinação
Passo 2
Condição de começo do levantamento da placa (análise de forças, passo pedagógico):
Considere a placa (peso desprezível) com área . Forças verticais sobre a placa:
Considere a placa (peso desprezível) com área
- Para cima: pressão interna do ar no tanque
atuando na área (fundo da placa). - Para baixo: pressão atmosférica
atuando na face superior da placa e a força descendente transmitida pelo bloco (tensão que o bloco aplica na placa).
No instante em que a placa começa a levantar, o somatório das forças verticais é zero (limiar):
Logo a diferença de pressão necessária é
Agora precisamos calcular
, a tensão exercida pelo bloco sobre a placa, e a área
da placa.
Passo 3
Cálculo da tensão
transmitida pelo bloco:
Equilíbrio vertical do bloco (forças sobre o bloco): peso para baixo , empuxo para cima
e tensão
para cima (porque o bloco está suspenso pela placa). A equação do equilíbrio do bloco é
Equilíbrio vertical do bloco (forças sobre o bloco): peso para baixo
Agora calculamos cada termo (usar unidades SI):
- Massa do bloco:
.
- Peso do bloco:
, com .
- Empuxo (princípio de Arquimedes): para fluido água com densidade
,
- Tensão:
Passo 4
Cálculo da área da placa
(círculo de diâmetro
):
Calculemos:
Agora a diferença de pressão necessária:
Passo 5
Relação entre
e a leitura do manômetro de mercúrio:
Um manômetro indica diferença de pressão via diferença de nível do mercúrio. A componente vertical da coluna de mercúrio que corresponde à
é dada por
Um manômetro indica diferença de pressão via diferença de nível do mercúrio. A componente vertical da coluna de mercúrio
Aqui vamos usar a densidade padrão do mercúrio
(esta é uma hipótese razoável quando não é dada). Então
Interpretação: a diferença de pressão calculada corresponde a uma diferença vertical de mercúrio de aproximadamente
.
Passo 6
Conversão para leitura no manômetro inclinado (explicação didática e limitação):
Num manômetro inclinado a leitura geralmente é o comprimento ao longo do tubo inclinado; a relação entre o comprimento lido
e a altura vertical
é
Num manômetro inclinado a leitura geralmente é o comprimento
onde
é o ângulo entre o tubo e a horizontal (ou dependendo da convenção, o complemento). Como o enunciado recebido não forneceu o ângulo
do manômetro (nem uma escala do tubo), não é possível determinar numericamente o comprimento
lido ao longo do tubo inclinado. Podemos apenas fornecer a altura vertical de mercúrio correspondente, que é a quantidade física diretamente relacionada com a diferença de pressão.
Resposta
A diferença de pressão necessária é
.
A altura vertical equivalente de mercúrio é (ou
).
Não é possível determinar a leitura ao longo do tubo inclinado (comprimento ) porque falta o ângulo de inclinação
do manômetro (ou a escala do tubo).
A altura vertical equivalente de mercúrio é
Não é possível determinar a leitura ao longo do tubo inclinado (comprimento