Uma placa com peso desprezível fecha um furo com 305 mm de diâmetro localizado na superficie superior de um tanque que contém ar e água. Um bloco de concreto, 2.410 \mathrm{kgf} / \mathrm{m} 3 \mathrm{com} volume de 0,043 \mathrm{~m} 3 está suspenso na placa e permanece completamente imerso na água. Note que a leitura diferencial no manômetro inclinado de mercúrio aumenta quando a pressão no ar aumenta. Calcule o valor dessa leitura no instante em que a placa começa a levantar do furo. Admita que a presença do ar no tanque não influi sobre a leitura no manômetro.

Passo 1

O enunciado pede a leitura do manômetro inclinado no instante em que a placa começa a levantar do furo.
Informações dadas (explicitamente listadas):
\text{diâmetro do furo } d = 305\\ \mathrm{mm} = 0{,}305\\ \mathrm{m}â
\text{bloco de concreto: densidade } \rho_b = 2410\\ \mathrm{kg/m^3}
\text{volume do bloco } V = 0{,}043\\ \mathrm{m^3}
A placa tem peso desprezível e está presa ao bloco (o bloco fica totalmente imerso). O manômetro é de mercúrio e é inclinado; o enunciado diz que a leitura aumenta quando a pressão do ar aumenta (ou seja, o manômetro registra a diferença de pressão entre o ar do tanque e a atmosfera).
Observação importante (informação que falta): para transformar a diferença de pressão calculada em “leitura do manômetro inclinado” (comprimento ao longo do tubo inclinado) é necessário conhecer o ângulo de inclinação \theta do manômetro ou a escala do tubo. Essa informação não foi fornecida no enunciado que você mandou.

Passo 2

Condição de começo do levantamento da placa (análise de forças, passo pedagógico):
Considere a placa (peso desprezível) com área A. Forças verticais sobre a placa:
  • Para cima: pressão interna do ar no tanque P_{in} atuando na área A (fundo da placa).
  • Para baixo: pressão atmosférica P_{atm} atuando na face superior da placa e a força descendente transmitida pelo bloco (tensão T que o bloco aplica na placa).
    No instante em que a placa começa a levantar, o somatório das forças verticais é zero (limiar):
P_{in}A - P_{atm}A - T = 0.
Logo a diferença de pressão necessária é
\Delta P \equiv P_{in}-P_{atm} = \frac{T}{A}.
Agora precisamos calcular T, a tensão exercida pelo bloco sobre a placa, e a área A da placa.

Passo 3

Cálculo da tensão T transmitida pelo bloco:
Equilíbrio vertical do bloco (forças sobre o bloco): peso para baixo W, empuxo para cima B e tensão T para cima (porque o bloco está suspenso pela placa). A equação do equilíbrio do bloco é
T + B = W \quad\Rightarrow\quad T = W - B.
Agora calculamos cada termo (usar unidades SI):
  • Massa do bloco: m=\rho_b V.
m = 2410\\ \mathrm{kg/m^3}\times 0{,}043\\ \mathrm{m^3} = 103{,}63\\ \mathrm{kg}.
  • Peso do bloco: W = m g, com g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
W = 103{,}63\times 9{,}81 = 1016{,}0\\ \mathrm{N}.
  • Empuxo (princípio de Arquimedes): para fluido água com densidade \rho_{w}=1000\\ \mathrm{kg/m^3},
B = \rho_{w} g V = 1000\times 9{,}81\times 0{,}043 = 421{,}8\\ \mathrm{N}.
  • Tensão:
T = W - B = 1016{,}0 - 421{,}8 = 594{,}2\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Cálculo da área da placa A (círculo de diâmetro d):
A = \pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi\left(\frac{0{,}305}{2}\right)^2.
Calculemos:
\frac{d}{2}=0{,}1525\\ \mathrm{m},\qquad A=\pi(0{,}1525)^2=0{,}073064\\ \mathrm{m^2}.
Agora a diferença de pressão necessária:
\Delta P = \frac{T}{A} = \frac{594{,}2}{0{,}073064} = 8129{,}6\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Relação entre \Delta P e a leitura do manômetro de mercúrio:
Um manômetro indica diferença de pressão via diferença de nível do mercúrio. A componente vertical da coluna de mercúrio h que corresponde à \Delta P é dada por
\Delta P = \rho_{Hg} g h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{\Delta P}{\rho_{Hg} g}.
Aqui vamos usar a densidade padrão do mercúrio \rho_{Hg}=13600\\ \mathrm{kg/m^3} (esta é uma hipótese razoável quando não é dada). Então
h=\frac{8129{,}6}{13600\times 9{,}81}=0{,}06094\\ \mathrm{m}=60{,}94\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: a diferença de pressão calculada corresponde a uma diferença vertical de mercúrio de aproximadamente 60{,}9\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Conversão para leitura no manômetro inclinado (explicação didática e limitação):
Num manômetro inclinado a leitura geralmente é o comprimento s ao longo do tubo inclinado; a relação entre o comprimento lido s e a altura vertical h é
h = s\sin\theta \quad\Rightarrow\quad s = \frac{h}{\sin\theta},
onde \theta é o ângulo entre o tubo e a horizontal (ou dependendo da convenção, o complemento). Como o enunciado recebido não forneceu o ângulo \theta do manômetro (nem uma escala do tubo), não é possível determinar numericamente o comprimento s lido ao longo do tubo inclinado. Podemos apenas fornecer a altura vertical de mercúrio correspondente, que é a quantidade física diretamente relacionada com a diferença de pressão.

Resposta

A diferença de pressão necessária é \Delta P = 8129{,}6\\ \mathrm{Pa}.
A altura vertical equivalente de mercúrio é h = 0{,}06094\\ \mathrm{m} (ou 60{,}94\\ \mathrm{mm}).
Não é possível determinar a leitura ao longo do tubo inclinado (comprimento s) porque falta o ângulo de inclinação \theta do manômetro (ou a escala do tubo).

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