2.19 cengel. Um eixo com 10 cm de diâmetro gira dentro de um mancal com 10,3 \mathrm{~cm} de diâmetro e 40 cm de comprimento. O espaço entre o mancal e o eixo está preenchido com óleo cujo a viscosidade na temperatura de operação é 0,300 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}. Calcule a potência necessária para vencer o atrito quando o eixo gira a 1200 rpm

Passo 1

O enunciado pede a potência necessária para vencer o atrito (potência dissipada pelo filme de óleo) quando um eixo gira dentro de um mancal cheio de óleo. Dados fornecidos:
  • diâmetro do eixo: 10{,}0\\ \mathrm{cm},
  • diâmetro do mancal interno: 10{,}3\\ \mathrm{cm},
  • comprimento do mancal: 40\\ \mathrm{cm},
  • viscosidade do óleo na operação: \mu = 0{,}300\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}},
  • velocidade de rotação: 1200\\ \mathrm{rpm}.
O que se pede: calcular a potência (em watts) necessária para vencer o atrito viscoso no filme de óleo preenchendo o espaço entre eixo e mancal quando o eixo gira a 1200\\ \mathrm{rpm}.

Passo 2

Converto os dados para unidades do SI e calculo a geometria do problema (espessura do filme, raio do eixo, velocidade em rotações por segundo):
  • raio do eixo: R = \dfrac{10{,}0\\ \mathrm{cm}}{2} = 5{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}05\\ \mathrm{m},
  • raio interno do mancal: \dfrac{10{,}3\\ \mathrm{cm}}{2} = 5{,}15\\ \mathrm{cm} = 0{,}0515\\ \mathrm{m},
  • espessura do filme (gap radial): \ell = 0{,}0515 - 0{,}05 = 0{,}0015\\ \mathrm{m} (ou 1{,}5\\ \mathrm{mm}),
  • comprimento: L = 40\\ \mathrm{cm} = 0{,}40\\ \mathrm{m},
  • rotação em rev/s: n = \dfrac{1200}{60} = 20\\ \mathrm{s^{-1}}.
Vou usar estes valores nas contas seguintes.

Passo 3

Princípio físico e aproximação usada (explicação didática):
  • O fluido entre eixo e mancal sofre cisalhamento devido ao movimento do eixo. A lei de Newton para um fluido viscoso diz que a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade:
\tau = \mu \frac{dv}{dr},
onde \tau é a tensão de cisalhamento (em \mathrm{N/m^{2}}), \mu é a viscosidade dinâmica e \dfrac{dv}{dr} é a variação radial da velocidade tangencial.
  • Quando o gap \ell é pequeno em relação ao raio R (aqui \ell=0{,}0015\\ \mathrm{m} e R=0{,}05\\ \mathrm{m}, ou seja \ell \ll R), podemos aproximar o perfil de velocidade no espaço entre as superfícies por uma variação praticamente linear: a velocidade tangencial no eixo é v_{\text{eixo}}=\omega R e na parede externa (mancal) é aproximadamente zero (paredes estacionárias). Assim:
\frac{dv}{dr} \approx -\frac{\omega R}{\ell}.
Portanto a tensão de cisalhamento na superfície do eixo é aproximadamente
\tau \approx \mu\,\frac{\omega R}{\ell}.
Essa aproximação é a clássica do escoamento de Couette com gap fino — simples e adequada para provas.

Passo 4

Cálculo do torque a partir da tensão de cisalhamento:
  • A força de atrito na superfície do eixo é a tensão vezes a área de contato:
F = \tau \cdot A = \tau \cdot (2\pi R L).
  • O torque resultante é essa força multiplicada pelo braço R:
T = F\cdot R = \tau \cdot (2\pi R L)\cdot R = 2\pi \tau R^{2} L.
  • Substituindo \tau \approx \mu\,\dfrac{\omega R}{\ell} obtemos:
T = 2\pi \mu \frac{\omega R}{\ell} R^{2} L = 2\pi \mu \frac{\omega R^{3} L}{\ell}.
Esta é a expressão do torque devido ao atrito viscoso no eixo com gap fino.

Passo 5

Expressões alternativas usando a velocidade de rotação em n (rev/s):
  • A velocidade angular é \omega = 2\pi n.
  • Substituindo em T
T = 2\pi \mu \frac{(2\pi n) R^{3} L}{\ell} = 4\pi^{2}\mu \frac{n R^{3} L}{\ell}.
  • A potência necessária para vencer o atrito é
\dot{W} = P = \omega T = (2\pi n)\,T.
Substituindo T em função de n resulta numa expressão explícita em n:
P = 2\pi n \cdot 4\pi^{2}\mu \frac{n R^{3} L}{\ell} = 8\pi^{3}\mu \frac{n^{2} R^{3} L}{\ell}.

Passo 6

Cálculo numérico do torque (intermediário):
  • Primeiro calculemos R^{3}L:
R^{3}L = (0{,}05)^{3}\cdot 0{,}40 = 0{,}000125\cdot 0{,}40 = 0{,}00005\\ \mathrm{m^{4}}.
  • Substituindo em T = 4\pi^{2}\mu \dfrac{n R^{3} L}{\ell} com \mu=0{,}300, n=20, \ell=0{,}0015:
T = 4\pi^{2}\cdot 0{,}300\cdot \dfrac{20\cdot 0{,}00005}{0{,}0015}.
  • Avaliando os fatores numéricos (deixo a multiplicação final exibindo os termos para manter a clareza):
T = 4\pi^{2}\cdot 0{,}300\cdot \frac{20\cdot 0{,}00005}{0{,}0015}.
(O resultado numérico deste produto será usado no próximo passo para calcular a potência.)

Passo 7

Cálculo da potência (expressão e substituição dos valores, mas guardando o resultado final para a seção de resposta):
  • Primeiro calcule \omega = 2\pi n = 2\pi \cdot 20 = 40\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • A potência é P = \omega T. Usando a forma direta em n:
P = 8\pi^{3}\mu \frac{n^{2} R^{3} L}{\ell}.
  • Substituindo os números:
P = 8\pi^{3}\cdot 0{,}300\cdot \frac{20^{2}\cdot 0{,}00005}{0{,}0015}.
  • Esta é a expressão numérica completa que dá a potência em watts. O produto numérico desta expressão é a potência requerida.

Resposta

P \approx 992\\ \mathrm{W}

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