2.19 cengel. Um eixo com 10 cm de diâmetro gira dentro de um mancal com
de diâmetro e 40 cm de comprimento. O espaço entre o mancal e o eixo está preenchido com óleo cujo a viscosidade na temperatura de operação é
. Calcule a potência necessária para vencer o atrito quando o eixo gira a 1200 rpm
Passo 1
O enunciado pede a potência necessária para vencer o atrito (potência dissipada pelo filme de óleo) quando um eixo gira dentro de um mancal cheio de óleo. Dados fornecidos:
- diâmetro do eixo:
, - diâmetro do mancal interno:
, - comprimento do mancal:
, - viscosidade do óleo na operação:
, - velocidade de rotação:
.
O que se pede: calcular a potência (em watts) necessária para vencer o atrito viscoso no filme de óleo preenchendo o espaço entre eixo e mancal quando o eixo gira a
.
Passo 2
Converto os dados para unidades do SI e calculo a geometria do problema (espessura do filme, raio do eixo, velocidade em rotações por segundo):
- raio do eixo:
, - raio interno do mancal:
, - espessura do filme (gap radial):
(ou ), - comprimento:
, - rotação em rev/s:
.
Vou usar estes valores nas contas seguintes.
Passo 3
Princípio físico e aproximação usada (explicação didática):
- O fluido entre eixo e mancal sofre cisalhamento devido ao movimento do eixo. A lei de Newton para um fluido viscoso diz que a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade:
onde
é a tensão de cisalhamento (em
),
é a viscosidade dinâmica e
é a variação radial da velocidade tangencial.
- Quando o gap
é pequeno em relação ao raio (aqui e , ou seja ), podemos aproximar o perfil de velocidade no espaço entre as superfícies por uma variação praticamente linear: a velocidade tangencial no eixo é e na parede externa (mancal) é aproximadamente zero (paredes estacionárias). Assim:
Portanto a tensão de cisalhamento na superfície do eixo é aproximadamente
Essa aproximação é a clássica do escoamento de Couette com gap fino — simples e adequada para provas.
Passo 4
Cálculo do torque a partir da tensão de cisalhamento:
- A força de atrito na superfície do eixo é a tensão vezes a área de contato:
- O torque resultante é essa força multiplicada pelo braço
:
- Substituindo
obtemos:
Esta é a expressão do torque devido ao atrito viscoso no eixo com gap fino.
Passo 5
Expressões alternativas usando a velocidade de rotação em
(rev/s):
- A velocidade angular é
. - Substituindo em
dá
- A potência necessária para vencer o atrito é
Substituindo
em função de
resulta numa expressão explícita em
:
Passo 6
Cálculo numérico do torque (intermediário):
- Primeiro calculemos
:
- Substituindo em
com , , :
- Avaliando os fatores numéricos (deixo a multiplicação final exibindo os termos para manter a clareza):
(O resultado numérico deste produto será usado no próximo passo para calcular a potência.)
Passo 7
Cálculo da potência (expressão e substituição dos valores, mas guardando o resultado final para a seção de resposta):
- Primeiro calcule
. - A potência é
. Usando a forma direta em :
- Substituindo os números:
- Esta é a expressão numérica completa que dá a potência em watts. O produto numérico desta expressão é a potência requerida.