A superficie superior de uma placa plana, aquecida a uma temperatura uniforme de 100^{\circ} \mathrm{C}, está sendo submetida a um fluxo paralelo de ar a uma pressão de 1 atm e uma temperatura de 50^{\circ} \mathrm{C}. A placa tem um comprimento de 0,30 m (na direção do fluxo) e uma largura de 0,12 \mathrm{~m}. O número de Reynolds com base no comprimento da placa é 40.000 . Qual é a taxa de transferência de calor da placa para o ar? Se a velocidade do fluxo livre do ar for dobrada e a pressão for aumentada para 10 atm , qual é a taxa de transferência de calor? (Obs.: Ar \left(T_{f}=348 K, 1 \mathrm{~atm}\right): k=0.0299 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot K, \mathrm{Pr}=0.70 )

Passo 1

O enunciado pede a taxa de transferência de calor da face superior de uma placa plana submetida a um escoamento paralelo de ar, nas duas situações dadas. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que vem do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Temperatura da placa: }T_s=100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Temperatura do ar livre: }T_\infty=50^\circ\mathrm{C}=323{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &\text{diferença de temperatura: }\Delta T = T_s-T_\infty = 50\\ ^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{comprimento no sentido do fluxo: }L=0{,}30\\ \mathrm{m},\\\ &\text{largura da placa: }w=0{,}12\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Reynolds (base }L\text{) inicial: }Re_L=40000,\\\ &\text{propriedades do ar no }T_f=348\\ \mathrm{K}\\ (\text{dado:})\\ k=0{,}0299\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\ \\ Pr=0{,}70.\\\ &\text{Área da face superior: }A=wL=0{,}12\times0{,}30=0{,}036\\ \mathrm{m}^2. \end{aligned}çÁ
Perguntas: (1) calcular a taxa de calor \dot{Q} da placa para as condições iniciais (dado acima); (2) se a velocidade do fluxo for dobrada e a pressão aumentada para 10\\ \mathrm{atm}, calcular a nova \dot{Q}. (Não vou pedir nada; vou prosseguir com as suposições físicas usuais na matéria.)

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada termo como se eu estivesse te explicando na prova):
  • Reynolds: \displaystyle Re_x=\frac{\rho U x}{\mu}=\frac{U x}{\nu}. É adimensional e indica se o escoamento junto à placa é laminar ou turbulento. Para placa plana a transição costuma ocorrer aproximadamente em \displaystyle Re_x\approx 5\times10^5.
    • U é a velocidade livre, \rho densidade do fluido, \mu viscosidade dinâmica, \nu=\mu/\rho viscosidade cinemática, x posição ao longo da placa.
  • Nusselt médio para placa plana com superfície a temperatura constante (escoamento externo):
    • Se o escoamento for laminar (até transição), a média sobre comprimento L é \overline{Nu}_L = 0{,}664\; Re_L^{1/2}\; Pr^{1/3}.Aqui \overline{Nu}_L=\dfrac{\bar{h}\,L}{k}, com \bar{h} coeficiente de convecção médio.
    • Para escoamento plenamente turbulento (corr. empírica válida para Re_L\gtrsim5\times10^5): \overline{Nu}_L = 0{,}037\; Re_L^{4/5}\; Pr^{1/3}.
  • Relação entre \bar{h} e \overline{Nu}_L: \bar{h} = \frac{\overline{Nu}_L\,k}{L}.
  • Taxa de calor total: \dot{Q} = \bar{h}\,A\,(T_s-T_\infty).
Observação didática: escolhemos as correlações acima porque o enunciado dá um Re baseado em L e a superfície está à temperatura constante. Para casos em que a região é mista (parcialmente laminar e parcialmente turbulenta) usamos uma integração por partes — vou fazer isso no caso 2.

Passo 3

  1. Verificamos o regime: \displaystyle Re_L=40000<5\times10^5, logo a camada limite é laminar ao longo de toda a placa. Podemos usar a correlação laminar média.
  2. Calcular \overline{Nu}_L:
\overline{Nu}_L = 0{,}664\;Re_L^{1/2}\;Pr^{1/3}.
  • \displaystyle Re_L^{1/2}=\sqrt{40000}=200.
  • \displaystyle Pr^{1/3}=0{,}70^{1/3}\approx 0{,}888.
    Logo
\overline{Nu}_L \approx 0{,}664\times 200 \times 0{,}888 \approx 117{,}98.
  1. Coeficiente médio \bar{h}:
\bar{h}=\frac{\overline{Nu}_L\,k}{L} =\frac{117{,}98\times 0{,}0299}{0{,}30} \approx 11{,}76\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  1. Taxa de calor:
\dot{Q}=\bar{h}\,A\,(T_s-T_\infty) =11{,}76\times 0{,}036 \times 50 \approx 21{,}16\\ \mathrm{W}.
(Arredondando para números práticos, \dot{Q}\approx 21{,}2\\ \mathrm{W}.)

Passo 4

Explicando passo a passo as suposições e a física:
  • Aumentando a pressão para 10\\ \mathrm{atm} (mantendo a temperatura praticamente a mesma), pela equação dos gases ideais a densidade \rho aumenta aproximadamente na mesma proporção da pressão, ou seja por um fator 10. Para gases, a viscosidade dinâmica \mu depende fortemente da temperatura, mas pouco da pressão em pressões moderadas, então como aproximação usual consideramos \mu praticamente inalterada. Logo a viscosidade cinemática \nu=\mu/\rho diminui por um fator \approx 10.
  • Se a velocidade U é dobrada ( U\to 2U) e \nu\to \nu/10, então o novo Reynolds baseado em L fica:
Re_L^{(new)} = \frac{2U\,L}{\nu/10} = 20\frac{U L}{\nu} = 20\,Re_L^{(old)}.
Portanto aqui o fator de aumento de Re_L é 20.
  • Assim \displaystyle Re_L^{(new)} = 20\times 40000 = 800000.
  • Como \displaystyle Re_L^{(new)}=8\times10^5>5\times10^5, a camada limite não é laminar ao longo de todo L: haverá uma região laminar inicial até x_{cr} (onde Re_x=5\times10^5) e depois região turbulenta até L. Para tratar isso de forma correta fazemos um balanço integrado do fluxo de calor dividindo as contribuições laminar e turbulenta.
  • Resultado útil da integração (eu mostro a ideia rápida): integrando o fluxo local q''(x)=h_x (T_s-T_\infty) com h_x = \dfrac{k}{x}Nu_x e usando as correlações locais Nu_x^{\text{lam}}=0{,}332\,Re_x^{1/2}Pr^{1/3},\qquad Nu_x^{\text{turb}}=0{,}0296\,Re_x^{4/5}Pr^{1/3},obtém-se (após integrar de 0 a x_{cr} e de x_{cr} a L) a fórmula prática: \dot{Q}=w\,k\,Pr^{1/3}\,(T_s-T_\infty)\Big[0{,}664\,Re_{x_{cr}}^{1/2} +0{,}037\big(Re_L^{4/5}-Re_{x_{cr}}^{4/5}\big)\Big],onde Re_{x_{cr}}=5\times10^5 (definição do ponto de transição) e w é a largura da placa. Essa expressão é só a integração explícita das contribuições localmente laminar e turbulenta e é a maneira correta de obter \dot{Q} quando há transição dentro do comprimento L.

Passo 5

  1. Valores já encontrados:
Re_L^{(new)}=800000,\qquad Re_{x_{cr}}=5\times10^5.
  1. Calcular os termos necessários:
Pr^{1/3}=0{,}70^{1/3}\approx 0{,}888.
Re_{x_{cr}}^{1/2}=\sqrt{5\times10^5}\approx 707{,}107.
Re_L^{4/5}=(8\times10^5)^{4/5}\approx 5{,}335\times10^4\quad(\text{aprox }53350).
Re_{x_{cr}}^{4/5}=(5\times10^5)^{4/5}\approx 3{,}624\times10^4\quad(\text{aprox }36239).
Re_L^{4/5}-Re_{x_{cr}}^{4/5}\approx 17111.
  1. Avaliar o colchete:
0{,}664\,Re_{x_{cr}}^{1/2}+0{,}037\big(Re_L^{4/5}-Re_{x_{cr}}^{4/5}\big) \approx 0{,}664\times707{,}107 + 0{,}037\times17111 \approx 469{,}52 + 633{,}11 = 1102{,}63.
  1. Usar a fórmula integrada para \dot{Q}:
\dot{Q}=w\,k\,Pr^{1/3}\,(T_s-T_\infty)\times 1102{,}63.
Substituindo w=0{,}12\\ \mathrm{m}, k=0{,}0299\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, \Delta T=50\\ \mathrm{K} e Pr^{1/3}\approx0{,}888:
\dot{Q}=0{,}12\times 0{,}0299 \times 0{,}888 \times 50 \times 1102{,}63.
Calcule passo a passo:
0{,}12\times 0{,}0299 = 0{,}003588,
0{,}003588\times 0{,}888 \approx 0{,}003186,
0{,}003186\times 50 = 0{,}1593,
0{,}1593\times 1102{,}63 \approx 175{,}9\\ \mathrm{W}.
Ou, via coeficiente médio \bar{h} (chegamos também a este valor):
\bar{h}\approx 97{,}7\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)},\qquad \dot{Q}=\bar{h}A\Delta T \approx 97{,}7\times 0{,}036 \times 50 \approx 175{,}9\\ \mathrm{W}.

Passo 6

  • Assumi que as propriedades termofísicas k e Pr permanecem essencialmente as mesmas quando a pressão aumenta para 10\\ \mathrm{atm}. Isso é uma aproximação razoável para gases a temperatura fixa; a viscosidade \mu foi considerada praticamente constante com a pressão (logo \nu=\mu/\rho diminui ~ \!10-vezes porque \rho cresce ~ \!10-vezes).
  • Se você tivesse dados precisos de k,\mu,Pr a 10\\ \mathrm{atm}, deveria usá-los; o procedimento (detectar região laminar/turbulenta e integrar as contribuições) é o mesmo.
  • Resultado prático: aumentar velocidade e pressão (como pedido) aumenta fortemente a convecção porque o número de Reynolds sobe e parte da placa fica em escoamento turbulento.

Resposta

\dot{Q}_{\text{caso 1}} \approx 21{,}2\\ \mathrm{W}
\dot{Q}_{\text{caso 2}} \approx 176\\ \mathrm{W}

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