2.19 cengel. Um eixo com 10 cm de diâmetro gira dentro de um mancal com 10,3 \mathrm{~cm} de diâmetro e 40 cm de comprimento. O espaço entre o mancal e o eixo está preenchido com óleo cujo a viscosidade na temperatura de operação é 0,300 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}. Calcule a potência necessária para vencer o atrito quando o eixo gira a (a) 600 rpm e (b) 1200 rpm

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência necessária para vencer o atrito do óleo no mancal quando o eixo gira a duas velocidades diferentes. Dados fornecidos (todos os números e variáveis estarão aqui explicitados para usar depois):
  • diâmetro do eixo: 10{,}0\\ \mathrm{cm} → raio do eixo R = 0{,}05\\ \mathrm{m};
  • diâmetro interno do mancal: 10{,}3\\ \mathrm{cm};
  • comprimento do mancal: L = 40\\ \mathrm{cm} = 0{,}40\\ \mathrm{m};
  • viscosidade do óleo: \mu = 0{,}300\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}};
  • espessura do filme de óleo (meia diferença dos diâmetros): \ell = \dfrac{10{,}3-10{,}0}{2}\\ \mathrm{cm} = 0{,}15\\ \mathrm{cm} = 0{,}0015\\ \mathrm{m} (usei os valores do enunciado para calcular \ell);
  • velocidades de rotação pedidas: (a) 600\\ \mathrm{rpm} e (b) 1200\\ \mathrm{rpm}.
O que precisamos encontrar: a potência dissipada por atrito (potência necessária para vencer o atrito) para as duas rotações indicadas.

Passo 2

Entendimento físico e aproximação usada (explicação didática). Quando temos um eixo cilíndrico girando dentro de um cilindro estacionário com um filme fino de óleo entre eles, o óleo sofre cisalhamento (shear) devido à velocidade tangencial do eixo. Se a espessura do filme \ell é pequena comparada ao raio R, podemos aproximar o gradiente de velocidade no filme por uma variação linear entre a velocidade do eixo na superfície ( u_{\text{superf}}=\omega R) e zero na superfície interna do mancal. A lei de Newton para um fluido viscoso diz que a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade:
\tau = \mu \frac{du}{dr}.
Na aproximação linear isso vira
\tau \approx \mu \frac{\omega R}{\ell},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (N/m²),
  • \mu é a viscosidade (N·s/m²),
  • \omega é a velocidade angular do eixo (rad/s),
  • R é o raio do eixo (m),
  • \ell é a espessura do filme (m).
Expliquei o porquê dessa aproximação: o óleo entre as superfícies quase não tem curvatura de perfil de velocidade quando \ell\ll R, então a variação pode ser tratada como linear.

Passo 3

Cálculo do torque devido ao cisalhamento (aula prática). A força tangencial por unidade de área é \tau. A área lateral do cilindro do eixo que está em contato com o óleo é 2\pi R L. Assim a força tangencial total é
F = \tau \cdot (2\pi R L).
O torque T (momento da força) é essa força multiplicada pelo braço R:
T = F\cdot R = \tau \cdot (2\pi R L)\cdot R.
Substituindo \tau \approx \mu \dfrac{\omega R}{\ell} obtemos, simplificando:
T = 2\pi \mu \frac{\omega R}{\ell}\; R^2 L = 2\pi \mu \frac{\omega R^3 L}{\ell}.
Aqui explicito cada símbolo de novo:
  • T é o torque (N·m),
  • \omega é a velocidade angular (rad/s),
  • R é o raio do eixo (m),
  • L é o comprimento do mancal (m),
  • \ell é a espessura do filme (m),
  • \mu é a viscosidade.

Passo 4

Relação entre torque e potência (e forma em função de n). A potência necessária para vencer o atrito é o produto da velocidade angular pelo torque:
\dot{W} = \omega\,T.
Substituindo T da fórmula anterior:
\dot{W} = \omega \left(2\pi \mu \frac{\omega R^3 L}{\ell}\right) = 2\pi \mu \frac{\omega^2 R^3 L}{\ell}.
Como muitas vezes a velocidade é dada em rotações por segundo ( n em rev/s) ou rpm, usamos \omega = 2\pi n. Substituindo \omega = 2\pi n na expressão de \dot{W} podemos escrever também:
\dot{W} = 2\pi \mu \frac{(2\pi n)^2 R^3 L}{\ell} = 8\pi^3 \mu \frac{n^2 R^3 L}{\ell}.
Importante: dessa expressão fica claro que a potência cresce com o quadrado da velocidade de rotação ( \dot{W}\propto n^2). Ou seja, dobrando n a potência aumenta por um fator 4.

Passo 5

Aplicando os dados para o caso (a): 600\\ \mathrm{rpm}.
Primeiro converto rpm para revoluções por segundo e para velocidade angular:
n = \frac{600}{60} = 10\\ \mathrm{rev/s},
\omega = 2\pi n = 2\pi\cdot 10 = 20\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Vou usar a expressão \dot{W}=2\pi \mu \dfrac{\omega^2 R^3 L}{\ell} e inserir os valores:
R = 0{,}05\\ \mathrm{m},\quad R^3 = (0{,}05)^3 = 0{,}000125\\ \mathrm{m^3},
L = 0{,}40\\ \mathrm{m},\quad \ell = 0{,}0015\\ \mathrm{m},\quad \mu = 0{,}300\\ \mathrm{N\cdot s/m^2},
\omega = 20\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Calculo simbólico antes de arredondar:
\dot{W} = 2\pi \cdot 0{,}300 \cdot \frac{(20\pi)^2 \cdot 0{,}000125 \cdot 0{,}40}{0{,}0015}.
Agora simplifico passo a passo (mostrando conta):
(20\pi)^2 = 400\pi^2,
0{,}000125\cdot 0{,}40 = 0{,}00005,
\frac{0{,}00005}{0{,}0015} = 0{,}033333\ldots = \frac{1}{30}.
Então
\dot{W} = 2\pi \cdot 0{,}300 \cdot 400\pi^2 \cdot \frac{1}{30}.
Calculo numérico agrupando coeficientes:
2\pi\cdot 400\pi^2 = 800\pi^3,
800\pi^3 \cdot 0{,}300 \cdot \frac{1}{30} = 800\pi^3 \cdot \frac{0{,}300}{30} = 800\pi^3 \cdot 0{,}01 = 8\pi^3.
Portanto
\dot{W} = 8\pi^3\\ \mathrm{W}.
Agora avalio numericamente com \pi^3\approx 31{,}0063:
\dot{W} \approx 8\cdot 31{,}0063 \approx 248{,}05\\ \mathrm{W}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\dot{W}_{(a)} \approx 248\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Aplicando os dados para o caso (b): 1200\\ \mathrm{rpm}.
Como a potência varia com o quadrado da velocidade, e 1200\\ \mathrm{rpm} é o dobro de 600\\ \mathrm{rpm}, basta multiplicar a potência do caso (a) por 2^2=4:
\dot{W}_{(b)} = 4\cdot \dot{W}_{(a)} \approx 4\cdot 248{,}05 \approx 992{,}2\\ \mathrm{W}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\dot{W}_{(b)} \approx 992\\ \mathrm{W}.

Resposta

248\\ \mathrm{W}
992\\ \mathrm{W}

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