2.19 cengel. Um eixo com 10 cm de diâmetro gira dentro de um mancal com
de diâmetro e 40 cm de comprimento. O espaço entre o mancal e o eixo está preenchido com óleo cujo a viscosidade na temperatura de operação é
. Calcule a potência necessária para vencer o atrito quando o eixo gira a (a) 600 rpm e (b) 1200 rpm
Passo 1
O enunciado pede para calcular a potência necessária para vencer o atrito do óleo no mancal quando o eixo gira a duas velocidades diferentes. Dados fornecidos (todos os números e variáveis estarão aqui explicitados para usar depois):
- diâmetro do eixo:
→ raio do eixo ; - diâmetro interno do mancal:
; - comprimento do mancal:
; - viscosidade do óleo:
; - espessura do filme de óleo (meia diferença dos diâmetros):
(usei os valores do enunciado para calcular ); - velocidades de rotação pedidas: (a)
e (b) .
O que precisamos encontrar: a potência dissipada por atrito (potência necessária para vencer o atrito) para as duas rotações indicadas.
Passo 2
Entendimento físico e aproximação usada (explicação didática). Quando temos um eixo cilíndrico girando dentro de um cilindro estacionário com um filme fino de óleo entre eles, o óleo sofre cisalhamento (shear) devido à velocidade tangencial do eixo. Se a espessura do filme
é pequena comparada ao raio
, podemos aproximar o gradiente de velocidade no filme por uma variação linear entre a velocidade do eixo na superfície (
) e zero na superfície interna do mancal. A lei de Newton para um fluido viscoso diz que a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade:
Na aproximação linear isso vira
onde:
-
é a tensão de cisalhamento (N/m²), -
é a viscosidade (N·s/m²), -
é a velocidade angular do eixo (rad/s), -
é o raio do eixo (m), -
é a espessura do filme (m).
Expliquei o porquê dessa aproximação: o óleo entre as superfícies quase não tem curvatura de perfil de velocidade quando
, então a variação pode ser tratada como linear.
Passo 3
Cálculo do torque devido ao cisalhamento (aula prática). A força tangencial por unidade de área é
. A área lateral do cilindro do eixo que está em contato com o óleo é
. Assim a força tangencial total é
O torque
(momento da força) é essa força multiplicada pelo braço
:
Substituindo
obtemos, simplificando:
Aqui explicito cada símbolo de novo:
-
é o torque (N·m), -
é a velocidade angular (rad/s), -
é o raio do eixo (m), -
é o comprimento do mancal (m), -
é a espessura do filme (m), -
é a viscosidade.
Passo 4
Relação entre torque e potência (e forma em função de
). A potência necessária para vencer o atrito é o produto da velocidade angular pelo torque:
Substituindo
da fórmula anterior:
Como muitas vezes a velocidade é dada em rotações por segundo (
em rev/s) ou rpm, usamos
. Substituindo
na expressão de
podemos escrever também:
Importante: dessa expressão fica claro que a potência cresce com o quadrado da velocidade de rotação (
). Ou seja, dobrando
a potência aumenta por um fator 4.
Passo 5
Aplicando os dados para o caso (a):
.
Primeiro converto rpm para revoluções por segundo e para velocidade angular:
Vou usar a expressão
e inserir os valores:
Calculo simbólico antes de arredondar:
Agora simplifico passo a passo (mostrando conta):
Então
Calculo numérico agrupando coeficientes:
Portanto
Agora avalio numericamente com
:
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 6
Aplicando os dados para o caso (b):
.
Como a potência varia com o quadrado da velocidade, e
é o dobro de
, basta multiplicar a potência do caso (a) por
:
Arredondando para três algarismos significativos: